Dreieckswinkel mit Kosinussatz berechnen

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Gegeben sind 3 Seiten a, b und c, gesucht ist Winkel γ

Lösung:

Kosinussatz aufstellen:
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)

Umstellen nach cos(γ):

c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | -c2

0 = -c2 + a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | +2ab·cos(γ)

2ab·cos(γ) = -c2 + a2 + b2   | :2ab

cos(γ) = (-c2 + a2 + b2) / (2ab)

// Arkuskosinus verwenden
γ = cos-1( (c2 - a2 - b2) / (2ab) )

$$ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.

Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz:

α = cos-1( (-a2 + b2 + c2) / (2bc) )

β = cos-1( (-b2 + a2 + c2) / (2ac) )

γ = cos-1( (-c2 + a2 + b2) / (2ab) )

Im LaTeX-Format:

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \\ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right)\\ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

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