Dreieckswinkel mit Kosinussatz berechnen

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Gegeben sind die drei Seiten a, b und c. Gesucht ist der Winkel γ.

Lösung:

Kosinussatz aufstellen:

c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Umstellen nach cos(γ):

c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)   | -c²
0 = -c² + a² + b² - 2ab·cos(γ)   | +2ab·cos(γ)
2ab·cos(γ) = -c² + a² + b²   | :2ab
\( \cos (γ) = \frac{-c^{2}+a^{2}+b^{2}}{2·ab} \)

Arkuskosinus anwenden, um Winkel berechnen zu können:

\( γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) \)

Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.

Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz

Im Folgenden sind alle Formeln aufgeführt, die wir benötigen, um Winkel aus den Dreiecksseiten zu berechnen. Sie basieren auf dem Kosinussatz:

\( α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \)

\( β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \)

\( γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) \)