Dreieckswinkel mit Kosinussatz berechnen

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Gegeben sind 3 Seiten a, b und c, gesucht ist der Winkel γ.

Lösung:

Kosinussatz aufstellen:
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)

Umstellen nach cos(γ):

c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | -c2

0 = -c2 + a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | +2ab·cos(γ)

2ab·cos(γ) = -c2 + a2 + b2   | :2ab

$$ \cos (γ) = \frac{c^{2}+a^{2}+b^{2}}{2·ab} $$

Arkuskosinus anwenden, um Winkel berechnen zu können:

$$ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.

Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz

Im Folgenden sind alle Formeln aufgeführt, die wir benötigen, um Winkel aus den Dreiecksseiten zu berechnen. Sie basieren auf dem Kosinussatz:

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right)$$

α = cos-1( (-a2 + b2 + c2) / (2bc) )

$$ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right)$$

β = cos-1( (-b2 + a2 + c2) / (2ac) )

$$ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

γ = cos-1( (-c2 + a2 + b2) / (2ab) )

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