Kurvendiskussion

Bei einer Kurvendiskussion versuchen wir, wesentliche Eigenschaften einer Funktion zu ermitteln. Dazu gehören Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Hochpunkte und Tiefpunkte sowie Wendepunkte. Hierzu verwenden wir u. a. die Nullstellenberechnung und die Differentialrechnung.

Eine wahrscheinlich treffendere Beschreibung für „Kurvendiskussion“ wäre „Funktionsuntersuchung“, da wir die Funktion auf Besonderheiten untersuchen.

Schauen wir uns nachfolgend ein vollständiges Beispiel einer Kurvendiskussion an, bei dem wir lernen, wie wir bei einer Kurvendiskussion vorgehen müssen.

1. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

Symmetrie

Eine Aussage über die Symmetrie einer Funktion lässt sich treffen, indem wir die Exponenten der Funktionsgleichung betrachten.

Sind alle Exponenten gerade, dann liegt Achsensymmetrie vor. Beispiele: f(x) = x2 oder f(x) = 3·x4 + 5·x2.

~plot~ x^2;3*x^4+5*x^2;[[5]];noinput ~plot~

Sind alle Exponenten ungerade, dann liegt Punktsymmetrie vor. Beispiele: f(x) = x3 oder f(x) = 7·x3 + x1.

Sind gerade und ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorhanden, so liegt keine Symmetrie vor.

~plot~ x^3;7*x^3+x;[[4]];noinput ~plot~

Verhalten im Unendlichen

Beim Verhalten im Unendlichen (siehe Grenzwerte) treffen wir eine Aussage, ob die Funktionswerte (also y-Werte) gegen plus Unendlich entweder fallen oder steigen. Genauso prüfen wir, ob sie gegen minus Unendlich fallen oder steigen.

Wir können dies mit der Limes-Schreibweise notieren.

Zum Beispiel: \( \lim \limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty \) und \( \lim \limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \)

Wenn wir die Limes-Schreibweise noch nicht kennen, können wir notieren:

„Verhalten gegen +∞ → Funktionswerte steigen“ (oder fallen, je nach Funktion)
„Verhalten gegen -∞ → Funktionswerte steigen“ (oder fallen, je nach Funktion)

2. Nullstellen

Wir ermitteln die Stellen, an den der Graph die x-Achse schneidet. Hierzu müssen wir die Funktionsgleich null setzen und nach x auflösen.

Kurz: \( x_N \) ist Nullstelle. Berechne \( f(x_N) = 0 \).

Nullstellen im Koordinatensystem:

Beispiel:

f(x) = x2 - 2·x - 3   | Null setzen
x2 - 2·x - 3 = 0      | Lösen mit pq-Formel
Lösungen (vgl. Rechner):
xN1 = -3
xN2 = 1

3. Schnittpunkt mit y-Achse

Den Schnittpunkt mit der y-Achse (auch „y-Achsenabschnitt“ genannt) ermitteln wir, indem wir bei der Funktionsgleichung x = 0 einsetzen.

Kurz: \( x = 0 \). Berechne \( f(0) = y \).

y-Achsenabschnitt im Koordinatensystem:

Beispiel:

f(x) = x2 - 2·x - 3   | x = 0
f(0) = 02 - 2·0 - 3
f(0) = -3
Lösung:
Sy(0|-3)

Bei Sy(0|-3) befindet sich also der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.

4. Extrempunkte

Extrempunkte können sein: Tiefpunkt oder Hochpunkt. Sie sind besonders auffällige Punkte des Graphen.

Um Extrempunkte zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung der Funktionsgleichung aufstellen und diese dann null setzen. So lässt sich die jeweilige Extremstelle berechnen.

Hierbei gibt es Fallunterscheidungen, die wir mit der zweiten Ableitung vornehmen. Wir setzen die Extremstelle in die zweite Ableitung und wenn der Wert größer 0 ist, dann handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ist der Wert kleiner 0, dann handelt es sich um einen Hochpunkt.

Kurz: \( f'(x_E) = 0 \) und \( f'(x_E) ≠ 0 \).

Dann:
\( f''(x_E) \gt 0 \) → Tiefpunkt
\( f''(x_E) \lt 0 \) → Hochpunkt

Abschließend ist der ermittelte Wert xE in die Funktionsgleichung f(x) einzusetzen. Der berechnete y-Wert gibt dann die y-Koordinate des Extrempunktes an.

Extrempunkte des Graphen im Koordinatensystem:

Beispiel der Berechnung von Extremstellen:

Zuerst sind die Ableitungen zu bilden:

f(x) = x2 - 2·x - 3
f'(x) = 2·x - 2
f''(x) = 2
f'''(x) = 0

Dann können wir die erste Ableitung null setzen.

f'(x) = 2·x - 2
2·x - 2 = 0    | +2
2·x = 2    | :2
x = 1

Bei x = 1 haben wir also eine Extremstelle.

Bestimmen wir die y-Koordinate des Extrempunktes, indem wir x = 1 in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(x) = x2 - 2·x - 3   | x = 1
f(1) = 12 - 2·1 - 3
f(1) = -4

Bei Sy(1|-4) befindet sich also der Extrempunkt des Graphen.

~plot~ x^2-2x-3;{1|-4};[[-3|5|-5|1]];noinput;nolabel ~plot~

Anhand des Graphen können wir sehen, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt. Rechnerisch bestimmen wir dies mit der zweiten Ableitung, in die wir x = 1 einsetzen.

Hochpunkt oder Tiefpunkt:

f''(x) = 2   | x = 1
f''(1) = 2

2 ist größer als 0, daher Tiefpunkt.

5. Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten gibt an, in welchen Intervallen der Funktionsgraph monoton steigend oder monoton fallend ist.

Hierbei hilft uns die erste Ableitung, denn sind deren Funktionswerte größer 0 (also \( f'(x) \gt 0 \)), dann ist der Graph monoton steigend.

Sind die Funktionswerte der ersten Ableitung jedoch kleiner 0 (also \( f'(x) \lt 0 \)), dann ist der Graph monoton fallend.

Siehe hierzu auch noch mal: Grafisches Ableiten und Monotonie bei Funktionen.

Monotonieverhalten des Graphen im Koordinatensystem. Beispiel:

Die Monotonie wird mit Intervallen angegeben:

]-∞; 0] monoton fallend
[0; +∞[ monoton steigend

6. Wendepunkte

Wendepunkte sind Punkte des Graphen, bei denen sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Ab diesem Punkt wechselt der Graph von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.

Es handelt sich bei einem Punkt um einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung 0 ist und die dritte Ableitung ungleich 0.

Kurz: \( f''(x_W) = 0 \) und \( f'''(x_W) ≠ 0 \)

Dann: Wendepunkt

Wendepunkt im Koordiantensystem. Beispiel:

Beispiel der Berechnung von Wendestellen:

Nehmen wir als Funktionsgleichung: f(x) = x3 + 1

Zuerst sind die Ableitungen zu bilden:

f(x) = x3 + 1
f'(x) = 3·x2
f''(x) = 6·x
f'''(x) = 6

Dann können wir die zweite Ableitung null setzen.

f''(x) = 6·x
6·x = 0    | :6
x = 0

Bei x = 0 haben wir also eine eventuelle Wendestelle.

Nun müssen wir prüfen, ob die dritte Ableitung für diesen Wert ungleich 0 ist. Also f'''(x) ≠ 0:

f'''(x) = 6   | x = 0
f'''(6) = 6   → 6 ≠ 0 → Wendepunkt

Dies trifft zu, also ist es tatsächlich ein Wendepunkt.

Sollte der Wert gleich 0 sein, so kann keine direkte Aussage getroffen. (Üblicherweise behilft man sich dann mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium oder überprüft weitere Ableitungen, was aber in diesem Artikel zu weit führen würde.)

Bestimmen wir die y-Koordinate des Wendepunktes, indem wir x = 0 in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(x) = x3 + 1   | x = 0
f(0) = 03 + 1
f(0) = 1

Bei W(0|1) befindet sich also der Wendepunkt des Graphen.

~plot~ x^3+1;{0|1};[[-5|5|-5|5]];noinput;nolabel ~plot~

Bei dem anderen Beispiel mit der Parabel gibt es übrigens keinen Wendepunkt. Die Parabel ist im Intervall ]-∞; ∞[ linksgekrümmt. Siehe Graph:

~plot~ x^2-2x-3;{1|-4};[[-3|5|-5|1]];noinput;nolabel ~plot~

Sollte bei einem Wendepunkt auch die erste Ableitung 0 ergeben (also wie bei den Extrempunkten), so handelt es sich um einen sogenannten Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt.

7. Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten gibt an, in welchen Intervallen der Funktionsgraph rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt ist.

Hierbei hilft uns die zweite Ableitung, denn sind deren Funktionswerte größer 0 (also \( f''(x) \gt 0 \)), dann ist der Graph linksgekrümmt.

Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitung jedoch kleiner 0 (also \( f''(x) \lt 0 \)), dann ist der Graph rechtsgekrümmt.

Siehe hierzu auch noch mal: Grafisches Ableiten und Monotonie bei Funktionen.

Krümmungsverhalten des Graphen im Koordinatensystem. Beispiel:

Die Krümmung wird mit Intervallen angegeben:

]-∞; 0] rechtsgekrümmt
[0; +∞[ linksgekrümmt

8. Graph zeichnen

Am Ende jeder Kurvendiskussion ist der Graph der Funktion zu zeichnen. Hierzu verwenden wir alle Punkte, die wir ermittelt haben. Auch das Monotonie und Krümmungsverhalten. Ggf. erstellen wir zusätzlich eine Wertetabelle, um weitere Punkte zum Zeichnen zu erhalten.

Wenn man einen grafischen Taschenrechner (GTR) besitzt, kann man diesen unter Umständen verwenden.

Oder man verwendet einen Funktionsplotter wie Plotlux.

Beispiel eines gezeichneten Graphen:

~plot~ x^2-2x-3;{1|-4};[[-3|5|-5|1]];noinput;nolabel ~plot~

Damit ist die Kurvendiskussion abgeschlossen.