Die Polynomdivision erklärt

Um das Verfahren der Polynomdivision zu erklären, klären wir zunächst einmal, was überhaupt ein Polynom ist.

Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen besteht. Ein allgemeines Polynom sieht so aus:

a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 + .... + an·xn

Einzelne Summanden eines Polynoms, zum Beispiel a2·x2 nennt man Monom.

Der Grad eines Polynoms entspricht der Höhe der größten Potenz des Polynoms. Ein Polynom n-ten Gerades hat also n als höchste Potenz. Wichtig ist, dass die Potenzen nur aus natürlichen Zahlen bestehen.

Ein Polynom 3. Grades a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 ist somit eine kubische Gleichung. a3 darf übrigens nicht gleich 0 sein, sonst würde x3 wegfallen.

Kommen wir nun zum eigentlichen Verfahren:

Mit der Polynomdivision schaffen wir es, den Grad eines Polynoms zu verringern. Das hilft uns enorm bei der Berechnung der Nullstellen eines Polynoms.

Bei einer Polynomdivision machen wir genau das, was der Name schon sagt. Wir dividieren ein Polynom durch ein zweites Polynom.

Wie genau das geht, machen wir uns jetzt an einem Beispiel anschaulich. Wir nehmen erstmal eine ganz normale Division:
12 : 4 = 3

Jetzt können wir die 12 auch als 3·4 schreiben.

(3 · 4) : 4 = 3

Setzen wir jetzt x = 4 erhalten wir:

(3 · x) : x = 3

Auch hier kürzt sich das x heraus und wir erhalten das selbe Ergebnis. Eine Division mit Variablen können wir also durchführen.

Setzen wir nun x=3 und nicht x=4:

(x · 4) : 4 = x

Hier kürzt sich nun die 4 wieder heraus.

Verändern wir unsere Gleichung, indem wir das x nun mit (x + 1) ersetzen. Dann erhalten wir:

(x + 1) · 4 : 4 = x+1

Den Divisor (die 4) verändern wir jetzt weiterhin und ersetzen die 4 mit (x - 5):

(x+1) · (x - 5) : (x - 5) = x+1

Die blau markierten Teile ergeben auch hier wieder 1. Somit bleibt unser Ergebnis x+1.

Multiplizieren wir jetzt einmal (x + 1) und (x - 5) aus, so erhalten wir:

(x + 1) · (x - 5) = x2 - 5x + x - 5 = x2 - 4·x - 5

Das setzen wir für den ersten Term, den Dividenden, ein:

(x2 - 4·x - 5) : (x-5) = x+1

Diese Gleichung ist eine Polynomdivision. Wir haben ein Polynom 2. Gerades und dividieren dieses durch ein Polynom 1. Gerades.

Die Zerlegung von (x2 - 4·x - 5), die wir benutzt haben, nennt man Linearfaktorzerlegung. Wir dividieren das Polynom 2. Gerades durch einen Linearfaktor des Polynoms und erhalten einen weiteren Linearfaktor.

Wir haben gesehen, dass man ein Polynom durch ein anderes dividieren kann. Schauen wir uns nun an, wie man so eine Polynomdivision ausführt, wenn man die Linearfaktorzerlegung nicht bereits vorher kennt.

Zunächst benötigen wir die Kenntnisse über die schriftliche Division. Machen wir eine kleine Wiederholung. Wir wollen 365 : 5 schriftlich berechnen. Das schreiben wir wie folgt auf:

0365 : 5 = 73
-35 
  15
 -15
   0

Wir schauen uns an, wie oft die 5 in die 36 passt. Die 5 passt 7 mal in die 36. Wir ziehen dies dann mit 5 multipliziert von der 36 ab. Dann holen wir die 5 von oben nach unten. Jetzt schauen wir uns an, wie oft die 5 in die 15 passt. Das ist 3 mal. Jetzt ziehen wir 3·5 von 15 ab und erhalten den Rest 0. Die 5 passt also 73 mal in die 365.

Warum funktioniert die Polynomdivision?

Wir haben bereits eine Polynomdivision ausgeführt, ohne jedoch zu wissen warum wir diese Untereinander-Schreibweise überhaupt benutzen können. Auch hier gibt es wieder ein Beispiel, an dem erklärt wird, wieso unsere Schreibweise anwendbar ist.

Wir nehmen uns die Division:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Wir wissen, dass wir diese Division auch aufteilen können:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4)


Führen wir eine kurze Nebenrechnung durch:

Wir schreiben uns zunächst einmal (x + 4) als Dividend und versuchen dann ein x2 zu erzeugen. Dies schaffen wir, indem wir den Dividenden mit x multiplizieren:

x2 : (x + 4) → (x + 4) : (x + 4) → ( x· (x + 4)) : (x + 4) = (x2 + 4·x) : (x + 4)

Wir haben im Dividend ein 4·x zu viel. Deshalb ziehen wir 4·x im Dividenden wieder ab, um wieder unsere vorherige Gleichung zu erhalten:

(x2 + 4·x - 4·x) : (x + 4) = (x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Ziehen wir ein x nun wieder aus dem Dividenden:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4)

Wir teilen unsere Division wieder auf:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4) = x· (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x)

Jetzt können wir bereits einen Teil der Division ausführen, da sich (x + 4) wegkürzt:

x · (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x) = x - 4·x : (4 + x)


Kommen wir zurück zu unserer ursprünglichen Division und setzen das, was wir gerade erhalten haben, ein:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4)

Jetzt fassen wir wieder zusammen:

x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - (- 4·x + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4)

Wir ziehen wieder auseinander:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4)

Jetzt machen wir uns nach dem selben Prinzip wie vorhin wieder eine Nebenrechnung:

2·x : (x + 4) → (x +4) : (x + 4) → 2· (x + 4) : (x + 4) = (2·x + 8) : (x + 4)

2·x : (x + 4) = (2·x + 8-8) : (x + 4)= 2· (x + 4) : (x + 4) - 8 : (x + 4) = 2 - 8 : (x + 4)

Das setzen wir oben wieder ein:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4) = x - 2 - 8 : (x + 4) + 8: (x+4)

Hier fällt auf, dass sich die letzten beiden Glieder aufheben. Damit erhalten wir zuletzt:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2

Wir sehen also, dass unsere Division (x - 2) ergibt.

Mit der Untereinander-Schreibweise erreichen wir das gleiche Ergebnis, nur dass wir, wie dieses Beispiel zeigt, nicht einmal annähernd so viel Schreib- und Rechenarbeit haben. Dieses Beispiel sollte also nur verdeutlichen, warum wir die Division untereinander schreiben können. Hier noch einmal die selbe Division in kurzer Schreibweise:

(x² + 6·x + 8) : (x + 4) = x - 2
-x² - 4·x
= 2·x + 8
- 2·x - 8
= 0

Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass sich die Schritte, die wir gerade durchgeführt haben, auch in der kurzen Schreibweise wiederfinden.

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