Kubische Gleichung mit Polynomdivision lösen

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Lösen wir jetzt eine kubische Gleichung mit dem Wissen, das wir in den vorigen Artikeln erworben haben.

Nehmen wir uns als Gleichung:

x³ + 6·x² + 11·x + 6 = 0

Uns ist zusätzlich noch vorgegeben, dass x = (-1) die Gleichung löst.
Überprüfen wir dies einmal durch einsetzen:

(-1)³ + 6·(-1)² +11·(-1) + 6 = 0
(-1) + 6 - 11 + 6 = 0
5 - 11 + 6 = 0
- 6 + 6 = 0

x = (-1) ist also eine Lösung.

Aus x = (-1) folgt also, dass (x + 1) ein Linearfaktor des Polynoms ist.

Wir dividieren nun unser Polynom durch den Linearfaktor, um den Grad des Polynoms zu verringern. Unser Ziel ist es also, ein Polynom 2. Grades zu erhalten, da wir bereits wissen, wie man die Nullstellen eines solchen Polynoms bestimmt. Die einzelnen Schritte werden nun nicht mehr erklärt, da wir die ganz normale Polynomdivision durchführen:

(x³ + 6·x² + 11·x + 6) : (x + 1) = x² + 5·x + 6
-x³ -   x²
=     5·x² + 11·x + 6
    - 5·x² -  5·x
=             6·x + 6
            - 6·x - 6
=                   0

Es gilt also:

(x³ + 6·x² + 11·x + 6) = (x + 1) · (x² + 5·x + 6)

Wir erinnern uns, dass ein Produkt gleich 0 wird, wenn einer der Faktoren gleich 0 wird.

Also:

(x + 1) = 0
x = -1

Diese Lösung kennen wir ja bereits, da sie vorgegeben war.

Oder:

(x² + 5·x +6) = 0

Diese Gleichung können wir nun zum Beispiel mit der p-q-Formel lösen:

x_1,2 = (5/2) ± √( (5/2)² - 6)
x_1,2 = -(5/2) ± √(6,25-6)

x₁ = -(5/2) + (1/2) = -(4/2) = -2
x₂ = -(5/2) - (1/2) = (6/2) = -3

Wir haben also die Lösung L = {-2, -3, -1}.

Damit wären wir mit unserer Rechnung fertig.