Kubische Gleichungen Lösungsverfahren

Lesedauer: 3.5 min | Vorlesen

Bestimmt man die Lösung einer kubischen Gleichung, so berechnet man die Nullstellen einer Funktion 3. Gerades. Diese Funktion sieht dann so aus:

f(x) = + r· + s·x + t

Möchte man eine solche Gleichung lösen, so gibt es mehrere Lösungsverfahren:

- Polynomdivision

- Grafisches Lösen

- Cardanische Formeln

- Newton-Verfahren

Wir konzentrieren uns aber zunächst einmal nur auf die Polynomdivision, da nur dieses Verfahren Thema des Schulstoffes ist.

Übrigens haben kubische Gleichungen in den reellen Zahlen mindestens eine und maximal drei Lösungen. Sie können also 1, 2 oder 3 Lösungen haben. Warum eine kubische Gleichung mindestens eine Lösung hat, machen wir uns klar, indem wir eine beliebige kubische Gleichung als Funktion mit Graphen betrachten:

funktionsgraph kubisch 1

Alle Gleichungen 3. Gerades haben diese oder eine ähnlich verlaufende Form des Graphen. Wenn wir x gegen unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn wir x gegen minus unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn die Werte von minus unendlich zu plus unendlich laufen (oder umgekehrt) und die Funktion stetig ist (also keine Definitionslücken hat, was bei Kubischen Gleichungen gegeben ist), sehen wir, dass die Funktion mindestens ein mal durch die x-Achse verlaufen muss. Die Funktion hat also mindestens eine Nullstelle. Damit wird klar, dass jede kubische Funktion mindestens eine Lösung haben muss.

Wer sich das nochmal genauer anschauen möchte, kann mit diesem Programm einige kubische Gleichungen erstellen und sehen, dass die Gleichung mindestens eine Lösung hat.

  Hinweis senden