Das „Steigungsdreieck“ ist ein rechtwinkliges Dreieck, das an eine Gerade angelegt wird, um die Steigung der Funktion über die Abstände zu ermitteln.
Zeichnet man eine Gerade in ein Koordiantensystem, so kann sie als Graph einer linearen Funktion verstanden werden.
Jede Gerade hat dabei eine Steigung und kann mit einer Funktionsgleichung beschrieben werden.
Die Steigung gibt an, wie steil eine Gerade nach oben oder unten verläuft (wie stark ihr Anstieg ist).
Das Steigungsdreieck hilft uns, die Steigung zu ermitteln. Wir benötigen dabei nur 2 beliebige Punkte auf dem Graphen.
Steigung ermitteln
1. Zuerst wählen wir zwei unterschiedliche Punkte auf der Geraden.
2. Dann notieren wir die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte und nutzen diese, um die Abstände für x (horizontal) und für y (senkrecht) zu berechnen.
3. Aus den Werten der Abstände können wir die Steigung (kurz m) berechnen, und zwar:
\( \text{Steigung m} = \frac{ \text{Abstand y} }{ \text{Abstand x} } = \frac{ \Delta y }{ \Delta x } \)
Das Steigungsdreieck kann an zwei beliebigen Punkten angesetzt werden, da die Steigung über die gesamte Gerade gleich ist.
Berechnung einer Steigung am Beispiel
Gegeben sei folgende Gerade im Koordinatensystem:
Interaktiven Rechner bei Desmos öffnen: Gerade im Koordinatensystem
1. Zuerst wählen wir zwei unterschiedliche Punkte A und B auf der Geraden.
Wir könnten auch andere Punkte wählen!
Interaktiven Rechner bei Desmos öffnen: Zwei Punkte auf Gerade wählen
2. Dann notieren wir die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte und nutzen diese, um die Abstände für x (horizontal) und für y (senkrecht) zu berechnen.
Punkt B(4|2)
Punkt A(2|1)
Abstand y (senkrecht): By - Ay = 2 - 1 = 1
Abstand x (horizontal): Bx - Ax = 4 - 2 = 2
Schauen wir uns die Abstände grafisch am Steigungsdreieck an:
Interaktiven Rechner bei Desmos öffnen: Steigungsdreieck an der Geraden
3. Aus den Werten der Abstände können wir nun die Steigung berechnen, und zwar:
\( \text{Steigung m} = \frac{ \text{Abstand y} }{ \text{Abstand x} } = \frac{ \Delta y }{ \Delta x } \\ m = \frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ 1 }{ 2 } \\ m = 0,5 \)
Die Steigung der Geraden beträgt m = 0,5.
Das bedeutet: Gehen wir einen Schritt nach rechts x + 1, dann gehen wir einen halben Schritt nach oben y + 0,5.
Interaktives Steigungsdreieck
Im Folgenden kannst du die Punkte auf dem Graphen verschieben und erkennst, wie sich die Steigung m ergibt. Egal, wo du die Punkte setzt, die Steigung der Geraden bleibt gleich.
Interaktiven Rechner bei Desmos öffnen: Interaktives Steigungsdreieck
Nachstehend ein frei bewegliches Steigungsdreieck, das man über Verschiebung der Punkte in der Steigung verändern kann.
Interaktiven Rechner bei Desmos öffnen: Interaktives Steigungsdreieck (frei beweglich)
Alternativ kann die Steigung übrigens auch über den Tangens berechnet werden: