DIF03: Differentialrechnung

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Laut Lehrplan: 11. - 12. Klasse

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DIF03-1 Differentialrechnung - Voraussetzungen zum Verstehen

Nötige Voraussetzungen zum Einstieg in die Differentialrechnung: Lineare Funktionen, Grenzwert (Limes), grafisches Ableiten. Wir lernen den Differenzenquotienten kennen.

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DIF03-2 Differentialrechnung - Funktion rechnerisch ableiten

Was ist die Differentialrechnung. Vom Differenzenquotient zum Differentialquotient. Wie wird mit Differentialquotient die rechnerische Ableitung gebildet. Hilfsmittel Limes.

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Wissen zur Lektion

Einführung zur Differentialrechnung

Eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik befasst sich mit der Analyse von Graphen, bei denen wichtige Informationen mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden. Wir hatten uns bereits im vorangegangenen Kapitel einen Überblick verschafft, was die erste Ableitung beschreibt. Wir haben es bei der ersten Ableitung mit der Steigung zu tun, die wir uns aber nicht mehr graphisch herleiten wollen, sondern errechnen. Das spart nicht nur Zeit, sondern ist auch deutlich genauer.

Um uns nochmals an den Begriff der Steigung zu gewöhnen, schauen wir uns ein Beispiel an. Das Beispiel soll eine Gerade sein, an dem sich der Begriff am einfachsten erklärt und deshalb auch im Weiteren eine wichtige Rolle spielt.

Steigung einer Geraden

Wie wir uns erinnern können, bestimmen wir die Steigung einer Geraden, in dem wir zwei beliebige Punkte auf der Geraden wählen (P1(x1|y1) und P2(x2|y2)) und dann ein Steigungsdreieck basteln. Die Steigung ergibt sich dann aus dem Quotienten \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)

Da die Steigung einer Geraden in jedem Punkt dieselbe ist, ist dieses Vorgehen kein Problem. Doch bereits bei einer Parabel funktioniert diese Herangehensweise nicht mehr. Wählen wir zwei Punkte auf einer Parabel, so sieht man bereits an einem Graphen, dass sich die Steigungen unterscheiden.

Parabel und Steigung

Und doch kann man die Gerade als Hilfsmittel verwenden, um eine Steigung in einem Punkt einer Parabel anzunähern. Das schauen wir uns mal genauer an.

Differenzenquotient

Wie gerade besprochen, wollen wir auf die Geraden zurückgreifen - bei denen wir kein Problem haben, die Steigung zu bestimmen - um eine Aussage über die Steigung einer Parabel oder anderen Funktionen treffen zu können. Dies kann nur als grobe Näherung betrachtet werden, bringt uns aber dem Ziel näher, die tatsächliche Ableitungsfunktion bestimmen zu können.

Um nun die Steigung einer Parabel in einem Bereich bestimmen zu können, verwenden wir das Hilfsmittel einer Sekante. Die Sekante ist ja eine Gerade, welche einen Graphen in zwei Punkten schneidet.

Parabel und Sekante

Wie wir im obigen Graphen erkennen können, verläuft die Sekante sehr nahe an dem Graphen von f (in einem bestimmten Bereich) und somit kann zumindest näherungsweise eine Aussage über die Steigungen zwischen P1 und P2 getroffen werden, indem man sich auf die Werte der Geraden beruft.

Demnach lässt sich der Differenzenquotient wie gewohnt ausdrücken über

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Da wir es jedoch nicht mit beliebigen Punkten P zu tun haben, sondern diese auf dem Graphen der Funktion liegen und die y-Werte einem x-Wert zugeordnet sind, ist die üblichere Schreibweise:

$$ m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Statt einer gewöhnlichen Geradensteigung haben wir nun die Steigung einer Sekante bestimmt. Der Wert der Angabe über die Steigung der eigentlichen Funktion wird dabei umso genauer je geringer der Abstand zwischen den x-Werten ist. Beispiel:

Sekante ungenau

Wählt man die beiden Punkte P0 und P2 (x-Werte haben einen Abstand von Δx = 4), weicht die Sekante stark von der eigentlichen Funktion f ab. Wählt man hingegen die beiden Punkte P1 und P2 (x-Werte haben einen Abstand von Δx = 2), ist die Angabe der Steigung hinreichend genau.

Dieser Gedanke führt uns auch direkt zum nächsten Kapitel, dem Differentialquotienten.

Differentialquotient

Greifen wir den Gedanken vom Ende des letzten Kapitels auf: Wir hatten angemerkt, dass wir die Steigung einer Funktion umso genauer bestimmen können, je näher sich die Punkte P1 und P2 kommen. Der Idealfall träfe ein, sobald sich die beiden Punkte berühren. Wenn sich die beiden Punkte aber berühren (also praktisch identisch sind) haben wir es nicht mehr mit einer Sekante zu tun, sondern mit einer Tangente. Hierin besteht auch der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten. Um dem Differentialquotienten Ausdruck verleihen zu können, nutzen wir den Grenzwert. Der modifizierte Ausdruck hat die Gestalt:

$$ m = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Der Grenzwert beschreibt also die Annäherung des einen x-Wertes an den anderen x-Wert und damit die Annäherung der beiden Punkte.

Mit Hilfe des Differentialquotienten kann man schon sehr genaue Aussagen über das Steigungsverhalten einer Kurve in einem Punkt treffen. Doch ist das Verfahren zur Bestimmung des Differentialquotienten sehr aufwändig.

Beispiel 1

Wenn wir die Steigung der Funktion f(x) = x² an der Stelle x1 = 3 bestimmen wollen, so gehen wir wie folgt vor:

x1 = 3

f(x1) = (x1)² = y

f(x1) = 3² = 9

x2 lassen wir als solches stehen, dies soll sich ja an x1 annähern (das setzen wir in den Limes).

f(x2) = (x2

In die Formel:

$$ m = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \lim_{x_2 \to 3} \frac{(x_2)^2 - 9}{x_2 - 3} = \lim_{x_2 \to 3} \frac{(x_2 - 3)(x_2+3)}{x_2 - 3} $$

$$ =\lim_{x_2 \to 3} x_2+3 = 3 + 3 = 6 $$

Um nicht den Differentialquotienten erneut bestimmen zu müssen, um einen weiteren Punkt auf das Steigungsverhalten zu analysieren, wäre es hilfreich eine Ableitungsfunktion zu kennen, bei der man einen beliebigen x-Wert einsetzt und die zugehörige Steigung erhält.

Da es dem Verständnis zuträglich ist, die Bestimmung einer Ableitungsfunktion einmal gesehen zu haben, befassen wir uns mit der h-Methode und schauen uns das genauer an.

h-Methode

Nachdem wir nun den Differentialquotienten kennengelernt haben und wissen, wie wir die Steigung an einem Punkt berechnen können, wollen wir das Verfahren etwas verallgemeinern und eine Ableitungsfunktion erstellen. Diese stellen wir mittels der h-Methode auf. Wir bedienen uns der Wahl von h = x2 - x1. Damit können wir x2 ausdrücken als x2 = x1 + h. Das h geht dabei gegen 0, denn die Differenz der beiden Stellen soll ja ebenfalls 0 sein. Es gilt mit obiger Bedingung f(x2) = f(x1 + h), welches wir nun in den Differentialquotienten einsetzen.

$$ m = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{(x_1+h) - x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h} $$

Da wir uns nur noch eine Stelle anschauen, können wir auch allgemeiner schreiben x1 = x.

$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h} $$

Mit dieser allgemeinen Schreibweise können wir nun jede beliebige Stelle direkt anschauen und haben mittels der h-Methode eine Ableitungsfunktion aufgestellt. Um das zu Verschaulichen, schauen wir uns Beispiel 1 nochmals mit der h-Methode an.

Beispiel 2

Wir hatten ja die Funktion f(x) = x² an der Stelle x1 = 3 untersuchen wollen.

$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} = \lim_{h \to 0} 2x + h = 2·x $$

Wenn wir nun die Stelle x1 = 3 untersuchen wollen, rechnen wir m = 2·x = 2·3 = 6. Wie wir anhand von Beispiel 1 überprüfen können, ist das Ergebnis korrekt. Da wir aber allgemeiner gerechnet haben, ist die Bezeichnung “m” unpraktisch, welches wir bisher für den Wert einer Steigung gewählt haben. Die Ableitungsfunktion selbst wird mit f’(x) gekennzeichnet. Wir setzen also an das f ein kleines Apostroph.

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h} $$

Mit dieser Information können wir ganz allgemein die Ableitungsfunktion des Graphen f(x) = x² mit f’(x) = 2x angeben. Zur Analyse der Steigung an einer beliebigen Stelle, besteht nun der einzige Aufwand darin, den x-Wert in die Ableitungsfunktion einzusetzen.

Wenn wir die Steigung an der Stelle x = 5 bei f(x) = x² wissen möchten, rechnen wir:

f’(x) = 2·x
f’(5) = 2·5 = 10

Die Steigung (der Tangente) an der Stelle 5 beträgt also 10.

Graph x² und Ableitung 2x mit Punkt

Ableitung

Die Ableitungsfunktion über die h-Methode zu bestimmen ist weiterhin aufwändig. Deshalb bestimmt man die Ableitung (Kurzform für Ableitungsfunktion) mittels der h-Methode nur wenige Male - sie dient dem Verständis -, und merkt sich ansonsten die wichtigsten Ableitungen. Um das Auswendiglernen zu erleichtern, gibt es eine ganze Reihe von Hilfestellungen bzw. als bekannt vorausgesetzte Ableitungen; so merkt man sich diese überschaubare Anzahl und bildet die Ableitung der gewünschten Funktion.

Die wichtigsten Ableitungen in tabellarischer Form aufgezeigt.


Funktion f(x)

Ableitung f’(x)

Potenzfunktion

xn

n·xn-1

Konstante

k

0

e-Funktion

ex

ex

Logarithmus

ln(x)

1/x

Sinus

sin(x)

cos(x)

Kosinus

cos(x)

-sin(x)

Tangens

tan(x)

1/cos²(x)

All diese Ableitungen könnte man mit der h-Methode herleiten, doch werden sie meist als bekannt vorausgesetzt und eine Herleitung ist nicht nötig. Schauen wir uns noch ein paar Beispiele zur Potenzfunktion an, die wohl eine der wichtigsten Ableitungen überhaupt ist.

Beispiel 3

Es sei f(x) = x, g(x) = x² und h(x) = x³. Es sollen die Ableitungen bestimmt werden, in dem man die Potenzfunktion annimmt.

f(x) = x = x1, somit n = 1

f’(x) = 1·x1-1 = x0 = 1

Graph x und Ableitung 1

Dass die Ableitung von f(x) korrekt ist, können wir direkt ablesen, denn die Steigung ist stets 1, und somit auch die Ableitung f’(x) = 1. g(x) hatten wir bereits mit der h-Methode verifiziert. So könnten wir auch die Ableitung von h(x) bestätigen und dann die Potenzregel für sich.

g(x) = x², somit n = 2

g’(x) = 2·x = 2·x

Graph x² und Ableitung 2x

h(x) = x³, somit n = 3

h’(x) = 3·x3-1 = 3·x²

Graph x³ und Ableitung 3x²

Anmerkung: Die Ableitung einer Konstanten, ist immer 0. Es gibt keine positive oder negative Steigung bei einem waagerechten linearen Graphen. So haben wir k(x) = 3 und k’(x) = 0.

Ableitungsregeln (ohne Herleitung)

Da wir uns nicht nur mit Funktionen befassen, die aus einfachen Termen bestehen, sondern auch aus Summen und Produkten, gibt es einige Regeln, die das Ableiten solcher Funktionen erleichtern.


Funktion

Ableitung

Potenzregel

\( f(x) = x^n \) \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)

Konstante Funktion

\( f(x) = k \) \( f'(x) = 0 \)

Faktorregel

\( f(x) = a \cdot g(x) \) \( f'(x) = a \cdot g'(x) \)

Summenregel

\( f(x) = g(x) + h(x) \) \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)

Produktregel

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) \( f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)

Quotientenregel

\( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \) \( f'(x) = \frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h(x)}{h(x)^2} \)

Kettenregel

\( f(x) = g(h(x)) \) \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

Die Potenzregel und die konstante Funktion haben wir uns bereits angeschaut und betrachten wir als erledigt. Für die anderen Regeln, schauen wir uns aber Beispiele an, um sie näher zu bringen, da vor allem die Kettenregel viel komplizierter aussieht, als sie eigentlich ist.

Faktorregel

Die Faktorregel besagt nichts anderes, als dass wenn wir einen konstanten Faktor vor einer Funktion haben, diesen bei der Ableitung selbst nicht zu berücksichtigen brauchen und ihn am Ende des Ableitungsprozesses wieder an die Ableitungsfunktion setzen können.

Beispiel

f(x) = 3·x²

Wir wissen bereits, dass sich für g(x) = x² ergibt, g’(x) = 2·x. Wir können nun schreiben f(x) = 3·g(x), also:

f’(x) = 3·g’(x) = 3·(2x) = 6x

Summenregel

Die Summenregel erleichtert uns das Ableiten ungemein, da wir uns Summand für Summand vorarbeiten können.

Beispiel

f(x) = 3x² + 2x + sin(x)

Wir können nun dank der Regel jeden Summanden einzeln betrachten:

g(x) = 3x², h(x) = 2x und k(x) = sin(x)

Die Ableitungen der einzelnen Summanden sind dann:

g’(x) = 6x, h’(x) = 2 und k’(x) = cos(x) (letzteres erhalten wir aus der Tabelle des letzten Kapitels)

Die Ableitung geben wir an, indem alle Ableitungen addiert werden:

f’(x) = 6x + 2 + cos(x)

Produktregel

Auch Produkte lassen sich aufsplitten und man betrachtet allein die Faktoren.

Beispiel

f(x) = x²·sin(x)

Wir können nun dank der Regel jeden Summanden einzeln betrachten:

g(x) = x² und h(x) = sin(x)

g’(x) = 2x und h’(x) = cos(x)

Nun die Regel aufschreiben und einsetzen:

f’(x) = g’(x)·h(x) + g(x)·h’(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Quotientenregel

Theoretisch kann ein Quotient auch in ein Produkt umgewandelt werden, doch die Quotientenregel erspart uns diesen Schritt.

Beispiel

f(x) = sin(x)/x

Wir haben damit die Zählerfunktion g(x) = sin(x) und die Nennerfunktion h(x) = x.

Ableiten der neuen Funktionen:

g’(x) = cos(x) und h’(x) = 1

$$ f'(x) = \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} = \frac{\cos(x)\cdot x-\sin(x)\cdot1}{x^2} = \frac{\cos(x)\cdot x - \sin(x)}{x^2} $$

Kettenregel

Die Kettenregel erlaubt unter anderem das Ableiten von Klammern oder komplizierteren Exponenten. Schauen wir uns zwei Beispiele an.

Beispiel 1

f(x) = (4x² + 2)²

Wir haben nun die sogenannte “äußere” Funktion mit der Klammer, und die “innere” Funktion, der Klammerinhalt.

f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = h(x)² und h(x) = (4x² + 2)

g’(h(x)) = 2·h(x) und h’(x) = 8x

f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = 2·h(x) · 8x = 2·(4x²+2) · 8x = 16x·(4x²+2)

Es sieht komplizierter aus als es ist und bedarf nur etwas Übung. Der Übung wegen direkt ein weiteres Beispiel.

Beispiel 2

f(x) = sin(3x² + 2x)

Auch hier haben wir wieder eine äußere und eine innere Funktion. Diese müssen wir identifizieren, um sie wie in Beispiel 1 zuordnen zu können.

f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = sin(h(x)) und h(x) = 3x² + 2x

g’(h(x)) = cos(h(x)) und h’(x) = 6x + 2

f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = cos(h(x)) · (6x + 2) = cos(3x² + 2x) · (6x + 2)

Abschlussbemerkung

Hier wurde euch ein kleiner Einblick in die Differentialrechnung gewährt. Ihr könnt nun losstarten und euch der ersten Ableitungen annehmen. Es ist dabei essentiell, dass die Regeln verstanden und angewendet werden können, was sich nur über Übung erreichen lässt. Viel Spaß!

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