Mathe F11: Monotonie bei Funktionen

Inhalte:

Laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In diesen Mathevideos lernen wir die Monotonie kennen.

F11-1 Monotonie bei Funktionen - Einführung

Was ist Monotonie und wie bestimmen wir sie bei den Funktionen. Unterschied streng monoton steigend und monoton steigend. Beispiele für Graphen von streng monoton steigenden und fallenden Funktionen. Allgemeine Formel für Monotonie.

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Wissen zur Lektion

Begriff "Monotonie"

monoton kommt von "monotonia" (altgriechisch), wobei mono = ein, allein und tonia = Ton. Gemeint ist damit eintönig, ohne Veränderung.

Monotonie bei Zahlenfolgen

Eine streng monoton steigende Zahlenfolge ist: 2, 3, 5, 8, 10, 20
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorige: 2 < 3 < 5 < 8 < 10 < 20

Eine monoton steigende Zahlenfolge ist: 3, 5, 5, 5, 20, 110
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer gleich dem vorigen ist: 3 < 5 = 5 = 5 < 20 < 110

Eine streng monoton fallende Zahlenfolge ist: 20, 10, 8, 5, 3, 2
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner ist als das vorige: 20 > 10 > 8 > 5 > 3 > 2

Eine monoton fallende Zahlenfolge ist: 110, 20, 5, 5, 5, 3
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner gleich dem vorigen ist: 110 > 20 > 5 = 5 = 5 > 3

Monotonie bei Funktionen

Die Formel für die streng steigende Monotonie lautet:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Das heißt, bei zunehmenden x-Werten ist jeder y-Wert bzw. Folgewert stets größer als der vorhergehenden y-Wert.


Die Formel für die steigende Monotonie lautet:

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

Das heißt, bei zunehmenden x-Werten ist jeder y-Wert stets größer oder gleich dem vorhergehenden y-Wert.


Die Formel für die streng fallende Monotonie lautet:

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)


Die Formel für die fallende Monotonie lautet:

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)


Monotonie mit Darstellung der Funktionsgraphen

streng monoton steigend monoton steigend

steng monoton fallend monoton fallend

streng monoton steigend fallend monoton steigend fallend


Monotonieverhalten richtig notieren

Graph Monotonie

Intervallschreibweise:

Die Funktion f(x) = -x³ ist streng monoton fallend für ]-∞;∞[

Mengenschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für alle x ∈ ℝ

Weiteres Beispiel

Graph 4

Intervallschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für ]-∞;2]
und streng monoton steigend für [2;∞[

Mengenschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für alle { x ∈ ℝ | x ≤ 2 }
und streng monoton steigend für alle { x ∈ ℝ | x ≥ 2 }

Abschnittsweise Funktionen

Abschnittsweise Funktionen werden wie folgt definiert und notiert, Beispiel:

funktion abschnittsweise graph funktion abschnittsweise

Monotonieverhalten für den gesamten Graphen bestimmen:
Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;∞[

Monotonieverhalten für die einzelnen Abschnitte bestimmen:
fI(x) = -x² → Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;-2[
fII(x) = -4 → Die Funktion ist monoton steigend für [-2; 2]
fIII(x) = x²-8 → Die Funktion ist monoton steigend für ]2;∞[

Hier ist darauf zu achten, dass wir die -2 nicht in die Monotonie des ersten Abschnitts einschließen dürfen, weil x = -2 nicht in der Defintionsmenge dieses Abschnitts enthalten ist. Mit anderen Wort, x = -2 ist nicht Teil des 1. Abschnitts, sondern nur Teil des 2. Abschnitts.

Sonderfall bei konstanter Funktion und konstantem Funktionsabschnitt: Bei einer konstanten Funktion tritt der gleiche y-Wert hintereinander auf. Zum Beispiel für f(x)=4 haben wir die y-Werte 4, 4, 4, ... Für diesen Fall gilt die Definition der steigenden Monotonie, aber auch die der fallenden Montonie. Daher müssen wir sagen: Die konstante Funktion ist monoton steigend und monoton fallend.

Mathe-Programme

Zu diesem Thema gibt es keine Mathe-Programme.

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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Symmetrie bei Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Bestimme alle Intervalle, in denen sich die Funktion monoton steigend oder monoton fallend verhält.

a)

Monotonie bei Funktionen Aufgabe a

b)

Monotonie bei Funktionen Aufgabe b

c)

Monotonie bei Funktionen Aufgabe c

d)

Monotonie bei Funktionen Aufgabe d

e)

Monotonie bei Funktionen Aufgabe e

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

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Untertitel

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Tags: Punktsteigungsform, Punktsteigungsformel, Punkt-Steigungs-Formel
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