Mathe F14: Potenzfunktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10., 11. Klasse

Mathe-Videos

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F14-1 Potenzfunktionen: Symmetrie, Monotonie, Definitions-/Wertebereich

    Was ist eine Potenzfunktion? Aufbau f(x) = a·x^n. Symmetrie bei geraden und ungeraden Exponenten (Achsensymmetrie und Punktsymmetrie). Gerade und ungerade Funktionen. Monotonieverhalten. Definitionsmenge und Wertebereich.

  • F14-2 Potenzfunktionen: Gemeinsame Punkte, Hyperbel

    Gemeinsame Punkte bei Potenzfunktionen je nach geradem/ungeradem Exponent. Es entsteht eine Hyperbel, wenn der Exponent negativ wird, Beispiel: f(x)=x^(-1). Wie kommt es bei negativen Exponenten zur Definitionslücke bei x=0.

  • F14-3 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

    Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten: Symmetrieverhalten, Monotonieverhalten, Definitionsmenge/Wertebereich, gemeinsame Punkte. Definitionslücken.

  • F14-4 Gleichung der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

    Wir bestimmen aus 2 gegebenen Punkten die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion. Lösen per Logarithmus. Lösen mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems.

  • F14-5 Schnittpunkte von 2 Potenzfunktionen

    Wir berechnen die Schnittpunkte von 2 Potenzfunktionen mittels Gleichsetzen. x-Wert zu gegebenem Funktionswert bei einer Potenzfunktion ermitteln. Auswirkungen des Vorfaktors a bei f(x)=a·x^n auf den Graphen der Funktion.

Zugriff auf alle Videos bestellen

Wissen zur Lektion

Was sind Potenzfunktionen?

Potenzfunktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f(x)=a·xn, wobei n ∈ Z und a ∈ R.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Erinnert euch bitte vorab, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionsmenge und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x4

Potenzfunktion x hoch 4
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R0- und streng monoton steigend für x∈R0+
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R0+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (0|0), (1|1)

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x5

Potenzfunktion x hoch 5
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (0|0), (1|1)

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktion positive Exponenten

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-2

Potenzfunktion x hoch minus 2
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R- und streng monoton fallend für x∈R+
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-1

Potenzfunktion x hoch minus 1
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R\{0}
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R\{0}
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktion negative Exponenten

Was ist eine Hyperbel?

Der Begriff Hyperbel kommt von "hyperbole" (griech.) und bedeutet "hinübergehen". Die Hyperbel ist ein geschwungener Graph, eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen Ästen besteht. Vergleiche Abbildung:

Hyperbel

Die Hyperbel zählt zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Merkt euch, dass die ganzrationalen Funktionen aus Potenzfunktionen zusammengesetzt sind. Zum Beispiel besteht die ganzrationale Funktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0)

Lösungen nach Aufgabentypen

Hier noch einige Anleitungen, wie man mögliche Aufgabentypen zum Thema Potenzfunktionen lösen kann.

1. Gleichungen der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xn. Wir haben nun zwei Punkte gegeben.

1. Wir können diese Punkte in die Gleichung einsetzen. Wir erhalten zwei Gleichungen.

2. Wir formen beide Gleichungen nach a um.

3. Wir setzen die Gleichungen gleich.

4. Wir bringen die Ausdrücke mit dem Exponenten auf eine eigene Seite.

5. Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bn: cn = (b/c)n )

6. Wir wenden den Logarithmus an.

7. Wir bringen n auf eine eigene Seite und können n nun berechnen.

8 Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.

9. Fertig!

2. Schnittpunkt von zwei Potenzfunktion

Haben wir zwei Potenzfunktionen f(x) und g(x) gegeben und wollen deren Schnittpunkte finden, so machen wir Folgendes:

1. Wir setzen die Funktionen gleich.

2. Wir klammern das x mit dem geringerem Exponenten aus. Wir erhalten ein Produkt.

3. Wir bestimmen die Nullstellen der einzelnen Faktoren des Produktes. (Eventuell mit pq-Formel oder Lösungsverfahren einer kubischen Gleichung oder ähnlichem.)

4. Fertig!

3. x-Wert bestimmen

Auch hier hat man die Potenzfunktion in der Form f(x) = a·xn und dazu einen y-Wert gegeben und soll den dazugehörigen x-Wert bestimmen, so macht man Folgendes:

1. y-Wert mit der Funktion gleichsetzen. (y = a·xn )

2. Durch den Vorfaktor a teilen.

3. Die n-te Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

4. Fertig!

Mathe-Programme zu Potenzfunktionen

  • Potenzfunktionen Potenzfunktionen
    Hier könnt ihr beliebige Potenzfunktionen erstellen. Einfach Exponent einstellen und Vorfaktor.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Funktionsuntersuchung

Bestimme bei den folgenden Funktionen die Definitionsmenge und den Wertebereich. Untersuche auf Symmetrie und Monotonieverhalten. Berechne zu den gegebenen y-Werten den dazugehörigen x-Wert. Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Fertige eine Skizze mit den jeweiligen Funktionsgraphen an.

1. f(x) = 3·x3 und y = 81 und A(6|29) und B(1|3)

2. f(x) = 5·x-1 und y = 1/4 und A(1|1) und B(2,5|2)

3. f(x) = 2·x4 und y = 512 und A(2,9|3,4) und B(2|1)

4. f(x) = x-2 und y = 1/64 und A(1/12|24) und B(5|1/25)


B: Funktionsgleichung bestimmen Funktionensuche

Bestimme eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a · xn aus den gegebenen Punkten.

1. P1(2|-224) und P2 (1|-7)

2. P1(5|12,5) und P2 (9|40,5)

3. P1(4|160) und P2 (1,2|4,32)


C: Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen

Berechne die Schnittpunkte der jeweils angegebenen Funktionen.

1. f(x) = x3 und g(x) = x5

2. f(x) = 3·x3 und g(x) = 1,5·x2

3. f(x) = 6 ·x4 und g(x) = -2,5·x3

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Untertitel anzeigen

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Auf dem Laufenden bleiben per Newsletter:

Durchschnittlich eine Mail pro Monat.