Mathe F14: Potenzfunktionen

Inhalte:

Laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

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F14-1 Potenzfunktionen: Symmetrie, Monotonie, Definitions-/Wertebereich

Was ist eine Potenzfunktion? Aufbau f(x) = a·x^n. Symmetrie bei geraden und ungeraden Exponenten (Achsensymmetrie und Punktsymmetrie). Gerade und ungerade Funktionen. Monotonieverhalten. Definitionsmenge und Wertebereich.

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Wissen zur Lektion

Was sind Potenzfunktionen?

Potenzfunktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f(x)=a·xn, wobei n ∈ Z und a ∈ R.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Erinnert euch bitte vorab, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionsmenge und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x4

Potenzfunktion x hoch 4
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R0- und streng monoton steigend für x∈R0+
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R0+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (0|0), (1|1)

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x5

Potenzfunktion x hoch 5
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (0|0), (1|1)

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktion positive Exponenten

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-2

Potenzfunktion x hoch minus 2
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R- und streng monoton fallend für x∈R+
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-1

Potenzfunktion x hoch minus 1
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R\{0}
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R\{0}
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktion negative Exponenten

Was ist eine Hyperbel?

Der Begriff Hyperbel kommt von "hyperbole" (griech.) und bedeutet "hinübergehen". Die Hyperbel ist ein geschwungener Graph, eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen Ästen besteht. Vergleiche Abbildung:

Hyperbel

Die Hyperbel zählt zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Merkt euch, dass die ganzrationalen Funktionen aus Potenzfunktionen zusammengesetzt sind. Zum Beispiel besteht die ganzrationale Funktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0)

Lösungen nach Aufgabentypen

Hier noch einige Anleitungen, wie man mögliche Aufgabentypen zum Thema Potenzfunktionen lösen kann.

1. Gleichungen der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xn. Wir haben nun zwei Punkte gegeben.

1. Wir können diese Punkte in die Gleichung einsetzen. Wir erhalten zwei Gleichungen.

2. Wir formen beide Gleichungen nach a um.

3. Wir setzen die Gleichungen gleich.

4. Wir bringen die Ausdrücke mit dem Exponenten auf eine eigene Seite.

5. Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bn: cn = (b/c)n )

6. Wir wenden den Logarithmus an.

7. Wir bringen n auf eine eigene Seite und können n nun berechnen.

8 Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.

9. Fertig!

2. Schnittpunkt von zwei Potenzfunktion

Haben wir zwei Potenzfunktionen f(x) und g(x) gegeben und wollen deren Schnittpunkte finden, so machen wir Folgendes:

1. Wir setzen die Funktionen gleich.

2. Wir klammern das x mit dem geringerem Exponenten aus. Wir erhalten ein Produkt.

3. Wir bestimmen die Nullstellen der einzelnen Faktoren des Produktes. (Eventuell mit pq-Formel oder Lösungsverfahren einer kubischen Gleichung oder ähnlichem.)

4. Fertig!

3. x-Wert bestimmen

Auch hier hat man die Potenzfunktion in der Form f(x) = a·xn und dazu einen y-Wert gegeben und soll den dazugehörigen x-Wert bestimmen, so macht man Folgendes:

1. y-Wert mit der Funktion gleichsetzen. (y = a·xn )

2. Durch den Vorfaktor a teilen.

3. Die n-te Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

4. Fertig!

Mathe-Programme zu Potenzfunktionen

  • Potenzfunktionen
    Potenzfunktionen
    Hier könnt ihr beliebige Potenzfunktionen erstellen. Einfach Exponent einstellen und Vorfaktor.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Funktionsuntersuchung

Bestimme bei den folgenden Funktionen die Definitionsmenge und den Wertebereich. Untersuche auf Symmetrie und Monotonieverhalten. Berechne zu den gegebenen y-Werten den dazugehörigen x-Wert. Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Fertige eine Skizze mit den jeweiligen Funktionsgraphen an.

1. f(x) = 3·x3 und y = 81 und A(6|29) und B(1|3)

2. f(x) = 5·x-1 und y = 1/4 und A(1|1) und B(2,5|2)

3. f(x) = 2·x4 und y = 512 und A(2,9|3,4) und B(2|1)

4. f(x) = x-2 und y = 1/64 und A(1/12|24) und B(5|1/25)


B: Funktionsgleichung bestimmen Funktionensuche

Bestimme eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a · xn aus den gegebenen Punkten.

1. P1(2|-224) und P2 (1|-7)

2. P1(5|12,5) und P2 (9|40,5)

3. P1(4|160) und P2 (1,2|4,32)


C: Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen

Berechne die Schnittpunkte der jeweils angegebenen Funktionen.

1. f(x) = x3 und g(x) = x5

2. f(x) = 3·x3 und g(x) = 1,5·x2

3. f(x) = 6 ·x4 und g(x) = -2,5·x3

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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