Mathe G25: Bruchgleichungen / Bruchterme

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion lernen wir, mit welchen Werkzeugen wir Bruchgleichungen lösen können: Erweitern von Brüchen, um gleichnamige Nenner zu bilden, Gleichungen umstellen, Binomische Formel und p-q-Formel. Nachdem ihr die Videos gesehen habt, werdet ihr in der Lage sein, alle möglichen Bruchgleichungen (also Gleichungen, die Bruchterme enthalten) selbstständig zu lösen.

Zu Beginn des ersten Videos wiederholen wir einige wesentliche Inhalte. Es wäre trotzdem sinnvoll, wenn ihr die Lektionen G08: Brüche und G12: Terme und Gleichungen vorher gesehen habt. Dann kann es losgehen. In den Videos werden auch die folgenden Themen angesprochen, zu denen es ebenfalls Video-Lektionen gibt: Kommutativgesetz, Distributivgesetz, p-q-Formel.

G25-1 Bruchgleichungen - Einführung und Voraussetzungen

Was ist eine Bruchgleichung. Wiederholung des Wissens zu den Brüchen und zum Umformen von Gleichungen. Lösen der Bruchgleichung 2/x = 0,5 durch Umformen der Gleichung. Lösen von 2/(x+3) = 5 mit Probe.

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Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Lösung durch Umformen von Gleichungen und Erweitern der Brüche (Nenner gleichnamig machen): Wir berechnen 1/(x+8) = 5/x und 2/x + 1/2x = 5. Auch machen wir jeweils die Probe. Zusätzlich lösen wir den Term 10x²+5x=0. Einführung und Bedeutung der Definitionsmenge.
  • Definitionsmenge bestimmen bei 2/(x+2) und 5/(x-2). Lösen der Bruchgleichung 2/(x+2) + 5/(x-2) = 20/(x²-4) mit Hilfe der Binomischen Formel (gleichnamige Nenner). Leere Lösungsmenge. Lösen der Bruchgleichung 2/(x+2) + 1/(x-2) = 1/(x²-4). Probe.
  • Lösen der Gleichung (x-1)/(4x+2) + 9/4 = 3/(2x+1) durch Bilden eines gemeinsamen Nenners mittels Ausklammern und Erweitern. Lösen von 3/a - 2/3a + 1/6a = 5 sowie 3/(n-1) = 4/(n-2). Bestimmen der Definitionsmenge und Überprüfen des Ergebnisses.
  • Lösen von (x+1)/x + (x+2)/x = x mittels Umformung in die Normalform und Anwenden der p-q-Formel. Zusammenfassung des Wissens. Abschließende Übungsaufgaben mit Lösung: (1+b)/2b = 5/4b + 1/4 und 5/2y + 4/3y = 7/2 und 3/(z-3) - 2/(z-3) = 4/(z²-6z+9)
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Wissen zur Lektion

Was sind Bruchgleichungen?

Bruchgleichungen werden Gleichungen genannt, bei denen mindestens eine Unbekannte im Nenner auftritt. Bruchgleichungen kann man eigentlich wie gewöhnliche Gleichungen lösen. Allerdings hat man die sogenannte Definitionsmenge zu berücksichtigen. Definitionsmenge bedeutet nicht viel mehr als "was darf x für Werte annehmen". Dazu solltet ihr euch daran erinnern, dass es es verboten ist (nicht definiert) durch 0 zu dividieren, bei einem Bruch also der Nenner nicht 0 werden darf. Hat man also eine Bruchgleichung gegeben, die beispielsweise die Gestalt

$$\frac{2}{3+x} + \frac{1}{x} = 5$$

hat, so ist zu verhindern, dass keiner der Nenner den Wert 0 annimmt. Dies wird durch die Definitionsmenge (man sagt auch "Definitionsbereich") eingeschränkt und verdeutlicht. Im obigen Fall haben wir dieses Problem, wenn der Nenner den Wert \(x = -3\) oder den Wert \(x = 0\) annimmt und so müssen diese mittels Festlegung der Definitionsmenge herausgenommen werden. Das wird so geschrieben: \(D = \mathbb R \setminus \{-3;0\}\) was bedeutet: Die Definitionsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen "ohne" (der Schrägstrich) die Zahlen -3 und 0. Diese Vorarbeit ist bei Bruchgleichungen notwendig.

Merkt euch: Sollte sich als Ergebnis eine der nicht erlaubten Zahlen ergeben, so darf sie nicht als Lösung verwendet werden.

Lösen von Bruchgleichungen

Wie gesagt, funktioniert das Lösen von Bruchgleichungen genau wie bei Gleichungen, die wir schon kennen. Vorarbeit muss aber bezüglich der Definitionsmenge getätigt werden. Auch sollte der Nenner entfernt werden, was eine einfachere Bearbeitung der Gleichung erlaubt.

$$\frac1x = 2$$

Der Definitionsbereich lässt sich hier zu \(D = \mathbb R\setminus{\{0\}}\) bestimmen, d.h. der Wert x = 0 darf nicht angenommen werden. Um den Nenner zu entfernen wird die Gleichung ganz einfach auf beiden Seiten mit diesem multipliziert:

$$\frac1x = 2 \quad|\cdot x$$ $$1 = 2\cdot x\quad|:2$$ $$x = \frac12$$

Da \(x = \frac12\) in der Definitionsmenge liegt (in der erlaubten Zahlenmenge), darf die 1/2 als Lösung verwendet werden. Sicherheit gibt hier auch eine Probe, also das Einsetzen des x-Wertes in die Bruchgleichung und das Überprüfen auf eine wahre Aussage hin.

Für das Lösen von Bruchgleichungen gibt es verschiedene Verfahren. Das wichtigste ist wohl das Verständnis bezüglich des Hauptnenners. Dieser ist das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner (vgl. Lektion G11 kgV und ggT). Ist man nicht in der Lage den Hauptnenner zu finden, kann man sich auch mit einem gemeinsamen Nenner zufrieden geben, also einem beliebigen Vielfachen aller Nenner, man wird aber mit größeren Zahlen arbeiten müssen, was die Rechenarbeit erschweren mag. Wir konzentrieren uns hier also auf den Hauptnenner.

Um den Hauptnenner zu bilden, muss man sich an Brüche/Bruchterme erinnern, die wir erweitert und gekürzt hatten. Mit diesen Hilfsmitteln können wir die Hauptnenner erschaffen. Dies sei an einem Beispiel gezeigt.

$$\frac{5}{x+3} + \frac{1}{x-1} = 2$$

Bevor wir beginnen bestimmen wir noch den Definitionsbereich. Dieser ist hier \(D = \mathbb R\setminus\{-3;1\}\). Nun zur Bestimmung des Hauptnenners. Dieser ergibt sich hier aus der Multiplikation beider vorhandener Nenner, sprich \((x+3)\cdot(x-1)\) (Ein beliebiger gemeinsamer Nenner wäre beispielsweise \(3\cdot(x+3)\cdot(x-1)\), soll uns hier aber nicht weiter interessieren.) Um diesen Hauptnenner nun bei jedem Bruch zu erschaffen, müssen die Brüche entsprechend erweitert werden. Bei dem ersten Bruch muss dazu mit \((x-1)\) multipliziert werden und bei dem zweiten Bruch mit \((x+3)\). Die rechte Seite der Gleichung (dort wo die 2 alleine steht) muss komplett mit dem Hauptnenner erweitert werden. Damit ergibt sich:

$$\frac{5\cdot\color{blue}{(x-1)}}{(x+3)\cdot\color{blue}{(x-1)}} + \frac{1 \cdot \color{blue}{(x+3)}}{(x-1)\cdot\color{blue}{(x+3)}} = \frac{2\cdot\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}}$$

Tipp: Es muss hierbei der Nenner (x+3)·(x-1) nicht ausmultipliziert werden, denn im nächsten Schritt wird die gesamte Gleichung schlicht mit diesem multipliziert! Wir multiplizieren also den Nenner mit der Gleichung, damit aus der Bruchgleichung eine Gleichung ohne Brüche entsteht:

$$\frac{5\cdot(x-1)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} + \frac{1 \cdot (x+3)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} = \frac{2\cdot(x+3)\cdot(x-1)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} \quad| \color{red}{\cdot (x+3)\cdot(x-1)}$$ $$5\cdot(x-1) + (x+3) = 2\cdot(x+3)\cdot(x-1)$$ Nun wird wie gewohnt ausgerechnet. In diesem Fall müssen wir ausklammern und dann so umformen, dass die pq-Formel angewendet werden kann. $$5\cdot(x-1) + (x+3) = 2\cdot(x+3)\cdot(x-1)$$ $$5\cdot x - 5 + x + 3 = 2(x^2-x-3+3\cdot x)$$ $$6\cdot x - 2 = 2\cdot x^2 - 2\cdot x - 6 + 6\cdot x$$ $$6\cdot x - 2 = 2\cdot x^2 + 4\cdot x - 6\quad|-6\cdot x + 2$$ $$2\cdot x^2 - 2\cdot x - 4 = 0 \quad |:2 $$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ $$x^2 + (-1)\cdot x + (-2) = 0 \quad|\text{pq-Formel}$$ $$x_{1,2} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac14+2}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac94}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \frac32$$ $$x_1 = \frac12 - \frac32 = -1$$ $$x_2 = \frac12 + \frac32 = 2$$

Diese beiden Lösungen liegen innerhalb der Definitionsmenge und demnach kann die Lösungsmenge als \(L = \{-1;2\}\) aufgeschrieben werden.

Es ergibt sich also folgendes Schema zum Lösen von Bruchgleichungen:

  1. Definitionsmenge bestimmen
  2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner (oder einen gemeinsamen Nenner)
  3. Gleichung umformen, sodass alle Nenner wegfallen
  4. Gleichung nach x auflösen
  5. Ermittelte x-Werte mit der Definitionsmenge vergleichen, Lösungen bestimmen

Lösen mit Hilfe der binomischen Formeln

Um mit Bruchgleichungen arbeiten zu können, solltet ihr euch unter anderem im Bereich der binomischen Formeln (G07), dem Ausklammern (G24) und der pq-Formel (F06 und G26) auskennen, welches alles Verfahren sind, um Bruchgleichungen lösen zu können. Gerade die Anwendung der binomischen Formeln ist von Bedeutung, deshalb folgt hierzu noch ein weiteres Beispiel. Lösen wir diese Bruchgleichung:

$$\frac{5}{x^2-4} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2$$

Hier kann man sich Arbeit ersparen, wenn man im Nenner des ersten Summanden (also x²-4) die dritte binomische Formel erkennt.

$$\frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2$$

Nun wird noch der Definitionsbereich bestimmt, bevor man richtig durchstartet. Dieser lautet \(D = \mathbb R\setminus\{-2;2\}\). Damit kann nun die Bruchgleichung angegangen werden. Der Hauptnenner sollte sofort zu \((x+2)\cdot(x-2)\) erkannt werden. Erweitern wir entsprechend:

$$\frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x\color{blue}{\cdot(x-2)}}{(x+2)\color{blue}{\cdot(x-2)}} = \frac{2\color{blue}{\cdot(x+2)\cdot(x-2)}}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}}$$

Es kann nun direkt mit dem Hauptnenner multipliziert werden.

$$\frac{5}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} + \frac{2\cdot x\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} = \frac{2\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} \quad |\cdot \color{red}{(x+2)\cdot(x-2)}$$ $$5 + 2\cdot x\cdot(x-2) = 2(x^2-4)$$ $$5 + 2\cdot x^2 - 4\cdot x = 2\cdot x^2 - 8 \quad|-2\cdot x^2 + 4\cdot x + 8$$ $$4\cdot x = 13\quad|:4$$ $$x = \frac{13}{4}$$

Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge und ist damit erlaubt. Die Lösungsmenge ist also \(L = \{\frac{13}{4}\}\).

Mathe-Programme

Im Folgenden findet ihr einige Programme zu den Brüchen, mit denen ihr euer Wissen auffrischen könnt:

  • Spiel: Brüche Quiz
    Spiel: Brüche Quiz
    Zeigt in diesem Brüche-Spiel, dass ihr die Bruchrechnung beherrscht. In nur 3 Minuten müsst ihr so viele Aufgaben wie möglich richtig berechnen!
  • Brüche am Kreis
    Brüche am Kreis
    Stellt Zähler und Nenner des Bruches ein und erkennt die Anteile am Kreis. Falls der Bruch kürzbar ist, wird dies angezeigt.
  • Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Die vier Grundrechenarten bei beliebigen Brüchen mit Rechenweg, inklusive Erweitern und Kürzen.
  • Bruchrechnung (als Flächen)
    Bruchrechnung (als Flächen)
    Mit diesem Programm könnt ihr beliebige Brüche berechnen, die gleichzeitig als Flächen angezeigt werden.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Bruchgleichungen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Bestimme die Definitionsmenge

$$a) \frac{3}{x-2} = \frac{7}{x-15} $$ $$b) \frac{15647}{x^2-4} = \frac{12}{x+2} $$ $$c) \frac{x-2}{x-2} = \frac{1}{x} $$ $$d) \frac{12}{x-1} + \frac{13}{x-2} + \frac{14}{3x-6} = \frac{15}{10x-10} $$ $$e) \frac{1}{x} + \frac{10}{10x} - \frac{147}{147,5x} = \frac{12,34}{145,147x} $$

B: Finde die Lösungen (leicht)

$$a) \frac{1}{x}+2 = \frac{9}{x} $$ $$b) \frac{3}{a-2} = \frac{12}{a+7} $$ $$c) \frac{2c}{c+1} + \frac{3}{2c} = 2 - \frac{1}{c} $$ $$d) \quad3 - \frac{x+2}{x-1} = \frac{x-4}{x-1} $$ $$e) \frac{5}{x+1} = \frac{8}{x} - \frac{3}{x-1} $$

C: Finde die Lösungen (schwer)

$$a) \frac{2}{x^2-x} + \frac{3}{4-4x} = \frac{1}{2x} $$ $$b) \frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{24}{x^2-9} $$ $$c) \frac{x}{x^2-4x} = 2 $$ $$d) \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{x+2}{x^2+4x+4} $$ $$e) \frac{6}{4x^2+12x+9} + \frac{4x}{2x+3} = 2 $$

D: Textaufgaben

a) Ein Bruch hat den Wert \( \frac{26}{9}\). Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum Nenner addieren, damit sein Wert \( \frac{1}{3}\) wird.

b) Ein Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schließen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

c) Ein kleiner Lastwagen benötigt 9 Fahrten mehr als ein großer, um allein Schutt wegzuführen. Beide gemeinsam könnten den Schutt in je 20 Fahrten wegführen. Wie viele Fahrten benötigt jeder allein?

d) In einer kleinen Firma arbeiten Fred und George. Um einen Auftrag zu erledigen, benötigt Fred drei Stunden. George hingegen nur zwei Stunden. Da der Auftrag möglichst schnell erledigt werden soll, arbeiten beide zusammen. Wie lang brauchen sie?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Bruchgleichungen lösen, Brüche mit Variablen im Nenner, Brüche und Gleichungen, Bruchterme lösen

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