Cramersche Regel

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die gesuchten Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems sind nun leicht zu finden (vergleiche auch Gleichungen 62 und 63):

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} } & { {a_{12} } }\\{ {c_2} } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {c_1} }\\{ {a_{21} } } & { {c_2} }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \) Gl. 67

sofern die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet (D ≠ 0)!

Die Lösungsvorschrift für Determinanten ist nach dem Schweizer Mathematiker CRAMER Gabriel (1704 - 1752) benannt.

Beispiel:

Gesucht ist der Punkt in dem sich die Geraden I. y = 3x + 1 und II. y = x + 3 schneiden.

Aufgabe Geraden Schnittpunkt

Zunächst muss das Gleichungssystem aufgestellt werden:

\(\begin{array}{l} & I. & 3x - y = - 1\\ & II. & x\,\,\, - y = - 3\end{array}\)

Die Koeffizientendeterminante D hat den Wert

\( D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }3 & { - 1} \\ 1 & { - 1} \end{array} } \right| = - 1 \cdot 3 - ( - 1) · 1 = - 2 \)

und die Zählerdeterminanten Dx und Dy

\( {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1} & { - 1}\\{ - 3} & { - 1}\end{array} } \right| = ( - 1)( - 1) - ( - 1)( - 3) = - 2 \)

\( {D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }3 & { - 1} \\ 1 & { - 3}\end{array} } \right| = 3 \cdot ( - 3) - 1 · ( - 1) = - 8 \)

nunmehr ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunktes zu

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ { - 2} }{ { - 2} } = 1 \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ { - 8} }{ { - 2} } = 4 \)

Probe:

Einsetzen der Lösung in obige Gleichungen zeigt,

\(\begin{array}{l} & I. & 3 \cdot 1 - 4 = - 1\\ & II. & 1\,\,\, - 4 = - 3\end{array}\)

dass die Lösung das Gleichungssystem erfüllt.

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