Gleichungssysteme auf lineare Gleichungssysteme zurückführen

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Gewisse Gleichungssysteme, die dem Anschein nach nichtlinear sind, können durch geeignete Umformung bzw. Substitution auf lineare Gleichungssysteme zurückgeführt werden. Voraussetzung dafür ist aber, dass die Unbekannten in beiden Gleichungssystemen von gleicher Gestalt sind. Gl. 80 vermittelt ein allgemeines Gleichungssystem, in denen die Variablen in Funktionen eingebunden sind.

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} } \cdot f\left( x \right) + {a_{12} } \cdot g\left( y \right) = {c_1}\\II. & {a_{21} } \cdot f\left( x \right) + {a_{22} } \cdot g\left( y \right) = {c_2} & \end{array}\) Gl. 80

Worin f und g beliebige Funktionen von x bzw. y sind. Durch Substitution von

\( \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\v = g\left( y \right) & \end{array}\) Gl. 81

Werden neue Variable eingeführt und das Gleichungssystem erscheint jetzt in der gewohnten linearen Form:

\( \begin{array}{l}I. & {a_{11} } \cdot u + {a_{12} } \cdot v = {c_1}\\II. & {a_{21} } \cdot u + {a_{22} } \cdot v = {c_2} & \end{array} \) Gl. 82

Nunmehr können u und v durch das Determinantenkalkül berechnet werden.

\( u = \frac{ { {D_u} } }{D}; \qquad v = \frac{ { {D_v} } }{D} \) Gl. 83

Durch Rücksubstitution und Anwendung der Umkehrfunktionen der Funktionen f und g

können die gesuchten Variablen x und y schließlich gefunden werden:

\( x = {f^{ - 1} }\left( {\frac{ { {D_u} } }{D} } \right); \qquad v = {g^{- 1} }\left( {\frac{ { {D_v} } }{D} } \right) \) Gl. 84

Beispiel:

Gegeben sei das Gleichungssystem: \( \begin{array}{l}I. & x \cdot y = 3,6\\II. & \frac{x}{y} = 0,1 & \end{array} \)

Gesucht sind x und y, die dieses Gleichungssystem erfüllen.

Durch Logarithmieren wird das Gleichungssystem in die Form nach Gl. 80 gebracht:

\(\begin{array}{l}I. & \log \left( x \right) + \log \left( y \right) = \log \left( {3,6} \right)\\II. & \log \left( x \right) - \log \left( y \right) = \log \left( {0,1} \right) & \end{array}\) mit \(u = \log (x); \quad v = \log \left( y \right) \)

folgt

\(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot u + 1 \cdot v = \log \left( {3,6} \right)\\II. & 1 \cdot u - 1 \cdot v = \log \left( {0,1} \right) & \end{array}\)

daraus folgt

\(\begin{array}{l}D = - 2;\,\,\\{D_u} = - \left( {\log \left( {3,6} \right) + \log \left( {0,1} \right)} \right)\\{D_v} = - \left( {\log \left( {3,6} \right) - \log \left( {0,1} \right)} \right) & \end{array}\)

also

\( \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\left( {\log \left( {3,6} \right) + \log \left( {0,1} \right)} \right) = \log \left( {\sqrt[2]{ {3,6 \cdot 0,1} } } \right) = \log \left( {0,6} \right)\\v = \frac{1}{2}\left( {\log \left( {3,6} \right) - \log \left( {0,1} \right)} \right) = \log \left( {\sqrt[2]{ {\frac{ {3,6} }{ {0,1} } } } } \right) = \log \left( 6 \right) & \end{array} \)

die Rücksubstitution ergibt

\(\begin{array}{l}\log \left( x \right) = \log \left( {0,6} \right) \Rightarrow x = 0,6\\\log \left( y \right) = \log \left( 6 \right) \Rightarrow y = 6 & \end{array}\)

  Hinweis senden