Rändern von Determinanten

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

In Umkehrung der Entwicklung einer Determinante nach ihren Unterdeterminanten kann eine Determinante auch erweitert werden.

Die Determinante in Gl. 95 wird sinnvoller Weise nach der letzten Spalte entwickelt, weil nur ein Koeffizient (a33) von Null verschieden ist:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&0\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&1\end{array} } \right| = 0 \cdot {A_{13} } + 0 \cdot {A_{23} } + 1 \cdot {A_{33} } \) Gl. 95

Diese Vorgehensweise kann umgekehrt werden. Im Beispiel (Gl. 96) wird die zweireihige Ausgangsdeterminante als eine nach ihren Adjunkten entwickelte dreireihige Determinante verstanden:

\( D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&0\\a&b&1\end{array} } \right| \) Gl. 96

(Das neue Element a33, nach dem die Determinante entwickelt werden müsste, um wieder auf die Ausgangsform zu kommen, weist darauf hin, dass das Vorzeichen positiv ist.)

Diese Operation wird Rändern einer Determinante genannt. Der Rang der Determinante ändert sich dabei nicht!

Die Größen a und b dürfen frei gewählt werden. Denn alle Produkte, in denen a oder b vorkommen, verschwinden wegen a13 = a23 = 0.

Die Operation des Ränderns wird ausgeführt, um Determinanten unter bestimmten Umständen eine einfachere Gestalt zu geben (siehe auch Berechnung der Fläche beliebiger Dreiecke).

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