Eigenschaften zweireihiger Determinaten

Lesedauer: 7 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

a) Das Vertauschen von Zeilen mit Spalten (Spiegeln an der Hauptdiagonalen) ändert den Wert der Determinante nicht.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{21} } }\\{ {a_{12} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }{a_{22} } - {a_{21} }{a_{12} } \) Gl. 72

b) Das Vertauschen von Zeilen (oder Spalten) untereinander verändert das Vorzeichen, nicht aber den Betrag der Determinante (die Hauptdiagonale wird zur Nebendiagonale und umgekehrt).

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\end{array} } \right| = - \left( { {a_{21} }{a_{12} } - {a_{11} }{a_{22} } } \right) \) Gl. 73

c) Eine Determinante wird mit einem Faktor multipliziert, indem die Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit diesem Faktor multipliziert werden.

\(\lambda \left| { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c} }{\lambda {a_{11} } }&{\lambda {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_{11} }{a_{22} } - {a_{21} }{a_{12} } } \right) \) Gl. 74

d) Besteht eine Zeile (oder Spalte) aus Summanden, kann sie in mehrere Determinanten entwickelt werden.

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } + {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } + {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 75

\(\left( {\left( { {a_{11} } + {b_{11} } } \right){a_{22} } - \left( { {a_{21} } + {b_{21} } } \right){a_{12} } } \right) = \left( { {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } } \right) + \left( { {b_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{b_{21} } } \right) \)

e) Eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen (oder Spalten) hat den Wert 0.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 76

f) Sind alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich 0, so hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left( {0 \cdot {a_{22} } - 0 \cdot {a_{12} } } \right) = 0 \) Gl. 77

g) Sind Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional, hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0 (Gl. 74, Gl. 76).

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\lambda {a_1} }&{\lambda {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 78

h) Wird zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzugezählt, ändert sich der Wert der Determinante nicht Gl. 74 und Gl. 75).

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } + \lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } + \lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{\lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{\lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 79

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