Eigenschaften zweireihiger Determinaten
a) Das Vertauschen von Zeilen mit Spalten (Spiegeln an der Hauptdiagonalen) ändert den Wert der Determinante nicht.
\( \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } } & { {a_{21} } }\\{ {a_{12} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }{a_{22} } - {a_{21} }{a_{12} } \) Gl. 72
b) Das Vertauschen von Zeilen (oder Spalten) untereinander verändert das Vorzeichen, nicht aber den Betrag der Determinante (die Hauptdiagonale wird zur Nebendiagonale und umgekehrt).
\( \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = - \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\end{array} } \right| = - \left( { {a_{21} }{a_{12} } - {a_{11} }{a_{22} } } \right) \) Gl. 73
c) Eine Determinante wird mit einem Faktor multipliziert, indem die Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit diesem Faktor multipliziert werden.
\(\lambda \left| { \begin{array}{cc} { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{cc}{\lambda {a_{11} } }&{\lambda {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_{11} }{a_{22} } - {a_{21} }{a_{12} } } \right) \) Gl. 74
d) Besteht eine Zeile (oder Spalte) aus Summanden, kann sie in mehrere Determinanten entwickelt werden.
\(\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } + {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } + {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{cc}{ {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 75
\(\left( {\left( { {a_{11} } + {b_{11} } } \right){a_{22} } - \left( { {a_{21} } + {b_{21} } } \right){a_{12} } } \right) = \left( { {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } } \right) + \left( { {b_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{b_{21} } } \right) \)
e) Eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen (oder Spalten) hat den Wert 0.
\( \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 76
f) Sind alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich 0, so hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0.
\( \left| {\begin{array}{cc}0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left( {0 \cdot {a_{22} } - 0 \cdot {a_{12} } } \right) = 0 \) Gl. 77
g) Sind Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional, hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0 (Gl. 74, Gl. 76).
\( \left| {\begin{array}{cc}{\lambda {a_1} }&{\lambda {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 78
h) Wird zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzugezählt, ändert sich der Wert der Determinante nicht Gl. 74 und Gl. 75).
\(\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } + \lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } + \lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{\lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{\lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 79
= 0!