Erzeugen von nullwertigen Elementen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Entwicklung einer Determinante in ihre Unterdeterminanten ist besonders dann leicht, wenn in einer Zeile (Spalte) Nullen auftreten. Dann sind die Koeffizienten, nach denen die Entwicklung stattfinden soll, gleich Null, damit verschwindet auch das Produkt mit dem entsprechenden Adjunkten, der dann erst gar nicht berechnet werden muss. Sind solche Zeilen (Spalten) mit Nullen nicht vorhanden, kann dies durch Ausnutzung von Eigenschaften (Eigenschaften zweireihiger Determinaten h) von Determinanten erzwungen werden.

Beispiel:

Es ist der Wert der Determinante D zu bestimmen.

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }4&3&{ - 2}\\2&{ - 1}&1\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Diese Determinante weist keine Nullelemente auf.

Darum werden die Elemente der zweiten Zeile mit 2 multipliziert und von den Elementen der ersten Zeile subtrahiert:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\2&{ - 1}&1\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Auf diese Weise wurde schon ein Nullelement erzeugt.

Nun wird auch die dritte Zeile mit 2 multipliziert und von der zweiten Zeile subtrahiert:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\0&{ - 9}&{ - 5}\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Jetzt genügt es, die Determinante nach dem Element a31 zu

entwickeln, alle anderen Summanden verschwinden:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\0&{ - 9}&{ - 5}\\1&4&3\end{array} } \right| = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }5&{ - 4}\\{ - 9}&{ - 5}\end{array} } \right|\, = - 25 - 36 = - 61\,\)

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