Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

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Was ist der größter gemeinsamer Teiler?

Der größter gemeinsamer Teiler (ggT) gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei oder mehr Zahlen teilbar sind. Eine Zahl ist teilbar durch eine andere Zahl, wenn die Division durch genau diese Zahl eine ganze Zahl ergibt.

Im Folgenden werden nun zwei Methoden vorgestellt, mit denen man den ggT bestimmen kann.

Bestimmen des ggT durch Auflisten aller Teiler

Diese Methode ist einfach verständlich, jedoch bei größeren Zahlen sehr umständlich. Zählt man alle Teiler der Zahlen auf, deren ggT man bestimmen soll, so lässt sich der ggT ablesen.

Beispiel: Bestimme den ggT der Zahlen 8 und 12, indem du alle Teiler aufschreibst:

Um die Teiler von 8 zu bestimmen, schaut man sich zunächst an, durch welche Zahlen man die Zahl 8 teilen kann, sodass man eine ganze Zahl erhält.
8:1 = 8
8:2 = 4
8:3
8:4 = 2
8:5
8:6
8:7
8:8 = 1

Man erkennt nun die Teiler von 8, diese sind: 1, 2, 4, 8

Bestimmt man mit dem selben Verfahren die Teiler von 12 erhält man: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Jetzt schaut man sich den größten dieser Teiler an, der in beiden Listen auftaucht (den also beide gemeinsam haben). In diesem Fall wäre das die Zahl 4. Die 4 ist also ggT von 8 und 12.

Mathematisch schreibt man dies: ggT(8, 12) = 4

Problematisch wird dieses Verfahren bei größeren Zahlen, die viele Teiler besitzen.

Bestimmen des ggT durch Primfaktorzerlegung

Eine etwas kompliziertere, aber dafür auch für größere Zahlen anwendbare Methode ist die Bestimmung von Primfaktoren der Zahlen, von denen der ggT gebildet werden soll. Man zerlegt die Zahlen jeweils in ihre Primfaktoren und bestimmt anschließend alle Faktoren, die in beiden Zerlegungen auftauchen. Diese Faktoren multipliziert man anschließend.

Falls dir die Primfaktorzerlegung noch nicht bekannt ist, solltest du zuerst die Lektion Primzahlen und Primfaktorzerlegung anschauen.

Beispiel:

Gesucht ist ggT(8, 20)
8 = 4 · 2 = 2 · 2 · 2
20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5
ggT = 2 · 2 = 4

Die blau gekennzeichneten Primfaktoren sind jene, die in beiden Zerlegungen auftauchen.

Daraus folgt: ggT(8, 20) = 4

Diese Methoden lassen sich auch für den ggT von mehr als zwei Zahlen anwenden.

Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".

Anwendung des ggT

Der ggT lässt sich unter anderem verwenden, um Brüche zu kürzen. Hat man den ggT von Zähler und Nenner eines Bruches bestimmt, so kann man diesen Bruch mit dem ggT kürzen.

Beispiel:
18 / 150 soll gekürzt werden.

ggT(18, 150) wird bestimmt mit Hilfe der Primfaktorzerlegung:

18 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3
150 = 15 · 10 = 3 · 5 · 2 · 5 = 2 · 3 · 5 · 5
ggT = 2 · 3 = 6

Man kann den Bruch nun mit dem größten gemeinsamen Teiler 6 vollständig kürzen:

(18 : 6) / (150 : 6) = 3 / 25

ggT von mehreren Zahlen

Der ggT lässt sich auch von mehreren Zahlen bestimmen, die Rechenmethode ist dabei die gleiche:

10 = 2 · 5
25 = 5 · 5
40 = 2 · 2 · 2 · 5
ggT = 5

Wir schreiben: ggT(10, 25, 40) = 5.

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