Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.

Auch hier gibt es zwei Methoden. Die den Methoden zur Berechnung des ggT ähneln.

Bestimmen des kgV durch Auflisten der Vielfachen

Auch hier kann man einige Vielfache bestimmen und anschließend schauen, wenn die Vielfachen der Zahlen gleich sind.

Beispiel: kgV(8, 12)
Vielfache von 8 sind: 8, 16, 24, 32, …
Vielfache von 12 sind: 12, 24, 36, 48, …

Man sieht direkt, dass das kleinste gemeinsame Vielfach von 8 und 12 = 24 ist, denn bei 24 sind die Vielfachen der beiden Zahlen das erste Mal gleich. kgv(8, 12) = 24

Bei größeren Zahlen hat man auch hier das Problem, dass die Listen sehr groß und aufwendig zu erstellen sind. Deswegen gibt es wiederum ein Verfahren, dass sich auch für große Zahlen anwenden lässt:

Bestimmen des kgV durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man wieder die Primfaktorzerlegung. Anschließend fasst man alle auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl zusammen.

Beispiel:

8  = 2 · 2 · 2
12 = 2 · 2 · 3
kgV = 2 · 2 · 2 · 3 = 24

Der Faktor 2 tritt in der höchsten Anzahl 3 auf (Zerlegung von 8).
Der Faktor 3 tritt in der höchsten Anzahl 1 auf ( Zerlegung von 12).

Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24

Anders als beim ggT gibt es immer ein kgV.

Anwendung des kgV

Möchte man zwei Brüche addieren, deren Nenner unterschiedlich sind, so muss man die Nenner gleichnamig machen. Dazu brauch man ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner. Man kann also das kgV zur Hilfe nehmen.

Beispiel: Man möchte diese beiden Brüche addieren.

5/30 + 14/42

Wir bestimmen kgV(30, 42):

30 = 2 · 3 · 5
42 = 2 · 3 · 7
kgV = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

Man kann die Brüche somit beide erweitern, sodass in beiden Nennern 210 steht.

Um zu wissen, mit welchem Wert man erweitern musst, nimmt man die zuvor bestimmte Primfaktorzerlegungen zur Hilfe, um die Nenner in Faktoren zu zerlegen:

5 / 30 + 14 / 42 = 5 / (2 · 3 · 5) + 14 / (2 · 3 · 7)

Möchte man diese Brüche gleichnamig machen, so muss man jeweils mit den Primfaktoren erweitern, die im anderen Nenner, aber nicht im jeweils eigenen Nenner vorhanden sind.

5 / (2 · 3 · 5) + 14 / (2 · 3 · 7) = (5 · 7) / (2 · 3 · 5 · 7) + (14 · 5) / (2 · 3 · 7 · 5) = 35 / 210 + 70/210 = 105/210

Das kgV lässt sich auch von mehreren Zahlen bestimmen, dazu kann man ebenfalls beide Methoden anwenden.

kgV von mehreren Zahlen

Die Rechenmethode ist dieselbe wie vorab kennengelernt, nur dass wir jetzt eine weitere Zahl berücksichtigen:

28 = 2 · 2 · 7
25 = 5 · 5
40 = 2 · 2 · 2 · 5
kgV = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 1400

Beispiel kgV(6,8)

Wie beschrieben, zerlgen wir die Zahlen in Primfaktoren und fassen die Primfaktoren (jeweils in höchster Anzahl) zusammen.

6 = 2·3
8 = 2·2·2
kgV = 2·2·2 ·3 = 24

Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24

Zur Kontrolle führen wir uns die Vielfachen nochmals vor Augen:
→ Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
→ Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, ...

Das kgV von 6 und 8 ist also 24, die erste Zahl, bei der sich die Vielfachen von 6 und 8 erstmals treffen.

Rechner

  Schreib uns deine Hinweise