Anwendung des kgV

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Möchte man zwei Brüche addieren, deren Nenner unterschiedlich sind, so muss man die Nenner gleichnamig machen. Dazu braucht man ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner. Man kann also das kgV zur Hilfe nehmen.

Beispiel: Wir wollen diese beiden Brüche addieren.

\( \frac{5}{30} + \frac{13}{42} \)

Wir nehmen uns die Nenner und bestimmen kgV(30, 42):

\( \begin{array}{lll} 30 &= 2 · 3 · 5 \\ 42 &= 2 · 3 &· 7 \\ \hline \text{kgV} &= 2 · 3 · 5 &· 7 = 210 \end{array} \)

Wir können also beide Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner 210 erweitern.

Um zu ermitteln, mit welcher Zahl wir jeden Bruch erweitern müssen, können wir auch die Primfaktorzerlegung verwenden, und zwar wieder für die Nenner:

\( \frac{5}{30} + \frac{14}{42} = \frac{5}{2 · 3 · 5} + \frac{14}{2 · 3 · 7} \)

Möchten wir diese Brüche gleichnamig machen, so müssen wir jeweils mit den Primfaktoren erweitern, die im anderen Nenner, aber nicht im jeweils eigenen Nenner vorhanden sind.

\( \frac{5}{2 · 3 · 5} + \frac{13}{2 · 3 · 7} = \frac{ 5 \color{#00F}{·7} }{ 2 · 3 · 5 \color{#00F}{·7} } + \frac{ 13 \color{#00F}{·5} }{ 2 · 3 · 7 \color{#00F}{·5}} = \frac{35}{210} + \frac{65}{210} = \frac{100}{210} \)

Abschließend können wir den Eregebnisbruch noch kürzen: \( \frac{100}{210} = \frac{100:10}{210:10} = \frac{10}{21} \)

Wir können übrigens auch das kgV von mehreren Zahlen bestimmen, dazu kann man ebenfalls beide Methoden anwenden.

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