DIF01: Grenzwerte

Inhalte:

Laut Lehrplan: 11. - 12. Klasse

Mathe-Videos

DIF01-1 Grenzwerte - Einführung Limes

Was ist ein Grenzwert / Limes. Wann schreibt man lim. Was ist eine Asymptote. Grenzwerte für x gegen unendlich und x gegen Null. Rechtsseitiger und Linksseitiger Grenzwert.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Grenzwert?

Unter einem Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle x0 versteht man den Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung dieses Punktes annähert. Das heißt, man setzt nacheinander x-Werte ein, die sehr nah an der zu untersuchenden Stelle liegen und schaut wie sich die Funktion verhält. Häufig macht man das an sogenannten Definitionslücken, bei denen die Funktion formal nicht definiert ist (zum Beispiel f(x)=1/x für x=0) oder man betrachtet das Verhalten der Funktion im Unendlichen, das heißt man überprüft, was mit dem Funktionswert passiert, wenn man nach und nach immer größere Zahlen für x einsetzt. (bzw. immer kleinere, das ist dann der Grenzwert gegen minus unendlich.)

Man unterscheidet dabei zwischen sogenannten eigentlichen Grenzwerten, das sind Grenzwerte, die tatsächlich einer Zahl entsprechen, und uneigentlichen Grenzwerten, das heißt der Wert der Funktion geht gegen ±unendlich.

Der Begriff Grenzwert taucht in mehreren Gebieten der Mathematik auf, besonders jedoch bei den Funktionen. Im Folgenden erfahrt ihr mehr hierzu.

Einführung zum Grenzwert

Befasst man sich mit einer Kurvendiskussion (das ist eine ausführliche Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion), so wird versucht, möglichst viele Informationen über die Funktionen zu gewinnen. Es stellt sich beispielsweise die Frage nach den Achsenschnittpunkten oder nach dem Monotonieverhalten. Genauso kann die Frage auftreten, wie sich der Graph im Unendlichen verhält, um einen Überblick über den Graphen insgesamt zu erhalten. Dies kann man sich in erster Linie graphisch veranschaulichen. Betrachten wir uns dazu ein Beispiel:

Funktion (x-2)(x+1)

Funktion (x-2)(x+1) Zoom

Wollen wir hier eine Aussage treffen, was passiert, wenn x sehr große Werte annimmt, so erkennen wir, dass sich der Graph mehr und mehr der Geraden y = 1 annähert. Es fällt auf, dass der Graph y = 1 nur nahe kommt, aber nie berührt oder gar schneidet. Hier benötigen wir die Begriffe „Asymptote“ und „Grenzwert“. Man betrachtet y = 1 als „Asymptote“, da sich der Graphen nur an diese annähert, aber sie nie berührt oder schneidet. Wir merken uns: Eine Asymptote ist eine Funktion (die rote Gerade oben), an die sich eine andere Funktion im Unendlichen annähert. Der Wert „1“ wird als Grenzwert beschrieben und gibt dem Betrachter, der keinen Graphen vor Augen hat, einen Hinweis auf den Verlauf der Funktion. Der Begriff Grenzwert kommt aus dem lateinischen „limes“ = Grenze, daher wird in der Mathematik die Kurzform „lim“ benutzt, um anzuzeigen, dass man mit einem Grenzwert arbeitet.

Grenzwerte rechnerisch bestimmen

Nachdem wir uns obigen Graphen angeschaut haben und visuell erkannt hatten, dass sich der Grenzwert bestimmen lässt, in dem man schaut wogegen der Graphen „strebt“ (also sich annähert), wollen wir den Grenzwert nun auch rechnerisch bestimmen und mathematisch aufschreiben.

Wie erwähnt, ist die Schreibweise für den Grenzwert: \(\lim\). Für obige Funktion wäre das:

$$\lim_{\color{red}{x \to \infty}} \color{blue}{\frac{x-2}{x+1}} = 1$$

Gesprochen wird das wie folgt: “Limes von f(x) für x gegen ∞ gleich 1“. Wie ihr seht, haben wir unter dem „lim“ weitere Informationen zu stehen. Dort befindet sich das x, die „Laufvariable“, also die Variable, die wir gegen etwas streben lassen. Den Pfeil, der das „Streben“ ausdrückt und mit „gegen“ übersetzt wird, sowie den eigentlichen Wert, gegen den wir streben. Das kann eine reelle Zahl sein oder eben das Unendliche, das ausdrücken soll, dass x gegen „sehr große Werte“ strebt. Nach dem eigentlichen Limes folgt die Funktion, um die es uns geht und letztlich haben wir den Grenzwert auf der rechten Seite. Allgemein aufgeschrieben also:

$$\lim_{\color{red}{x \to p}} \color{blue}{f(x)} = L$$

Wollen wir Grenzwerte nun rechnerisch bestimmen, sollten wir uns zuvor erst klar machen, was dieses \(x \to \infty\) bedeutet. Nehmen wir uns dazu die Funktion \(f(x) = \frac1x\) zur Hilfe. Ein Schaubild:

Funktion 1/1

Wir sehen, dass für sehr große x-Werte, der y-Wert gegen 0 geht. Nehmen wir einmal eine Wertetabelle zur Hilfe und setzen für x sehr große Werte ein:

x 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000
y 1 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001

Die Werte werden offensichtlich sehr, sehr klein. Sie streben gegen 0. Dieses Verhalten von \(f(x) = \frac1x\) sollte man sich zu eigen machen und als eine Grundlage ansehen. Mit Hilfe von \( \frac{1}{x} \) lassen sich viele weitere Grenzwerte bestimmen. Wir merken uns:

$$ \color{blue}{ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0} $$

Schauen wir uns einmal an, wie wir mit diesem Wissen unsere Eingangsfunktion rechnerisch bestimmen können:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = ? $$

Um hier auf den Grenzwert zu kommen, müssen wir den Bruchterm kürzen. Dabei wird vorerst je im Zähler und Nenner die höchste Potenz ausgeklammert, was hier jeweils x entspricht. Dieses x kann dann weggekürzt werden:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{x\cdot\left(1-\frac2x\right)}{x\cdot\left(1+\frac1x\right)} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac2x}{1+\frac1x} $$

Nun ist es erlaubt, den Limes von Zähler und Nenner getrennt zu betrachten (wir schreiben diese Regel später nochmals separat nieder) und erkennen, dass die beiden Brüche 2/x und 1/x jeweils gegen 0 gehen, ganz nach unserem Musterbeispiel mit 1/x oben. Für den Bruchterm haben wir somit:

$$ \frac {1-0}{1+0} = \frac11 = 1 $$

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = 1 $$

Der Grenzwert ist mit 1 bestimmt. Wenn wir den Graphen zeichnen, können wir dies ebenso erkennen: gesehen hatten.

~plot~ (x-2)/(x+1);1; ~plot~

Hinweis: Es ist absolut notwendig, den Limes mit "lim" bei den Berechnungen immer mitzuschreiben, solange er nicht angewendet ist. Das einzige Zugeständnis ist das zeitweise Weglassen des „x → ∞“.

Grenzwertsätze und Tipps

Bevor wir uns in weitere Details zu den Grenzwerten stürzen, schauen wir uns ein paar Sätze an, die beim Bearbeiten von Aufgaben helfen:

Summen- und Differenzenregel

$$\lim_{x \to p} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$$

Hat man eine Summe oder Differenz zweier Funktionen, von denen man den Grenzwert bilden soll, so ist das dasselbe wie der Grenzwert von f(x) addiert/subtrahiert mit dem Grenzwert von g(x). Das "L" und das "M" stellen in der Gleichung die beiden Grenzwerte dar. Wir können also zuerst den Grenzwert von f(x) = L berechnen und dazu den Grenzwert von g(x) = M addieren bzw. subtrahieren.

Produktregel

$$\lim_{x \to p} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$$

Hat man ein Produkt zweier Funktionen, von denen man den Grenzwert bilden soll, so ist das dasselbe wie der Grenzwert von f(x) multipliziert mit dem Grenzwert von g(x), also L · M.

Quotientenregel

$$\lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac LM$$

Hat man einen Quotienten zweier Funktionen, von denen man den Grenzwert bilden soll, so ist das dasselbe wie der Grenzwert von f(x) dividiert mit dem Grenzwert von g(x) (mit M ≠ 0).

Konstantenregel

$$\lim_{x \to p} (a\cdot f(x)) = a\cdot L$$

Hat man ein Produkt einer Funktion mit einem konstanten Faktor, von den man den Grenzwert bilden soll, so ist das dasselbe wie der Grenzwert von f(x) multipliziert mit dem konstanten Faktor.

Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen

Hilfreiche bei der Berechnung von Grenzwerten mit gebrochenrationalen Funktionen ist Folgendes:

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion mit einem Polynom P(x) im Zähler und einem Polynom Q(x) im Nenner. Nun bestimmen wir den „Zählergrad n“ und den „Nennergrad m“, indem wir jeweils den Exponenten der höchsten Potenzen anschauen. Haben wir bspw. \(P(x) = x^2 + 3 + 7\cdot x^5 - 2\cdot x \), so wäre der Zählergrad zu n = 5 zu bestimmen, da es sich hier um den Exponenten der höchsten Potenz handelt. Damit kann man nun folgende Regeln anwenden:

Grad des Zählers n < Grad des Nenners m: Die x-Achse (y = 0) ist waagerechte Asymptote. Beispiel: f(x) = (x²+1)/(x³-2)

Grad des Zählers n = Grad des Nenners m: Eine Parallele zur x-Achse ist Asymptote - es wird der Quotient der Vorfaktoren der höchsten Potenzen gebildet. Beispiel: f(x) = (x³+1)/(x³-3)

Grad des Zählers n > Grad des Nenners m: Keine waagerechte Asymptote (n = m + 1, die Asymptote ist eine schiefe Gerade). Beispiel: f(x) = (x4+x²)/(x³+1)

Weiteres zu Grenzwerten

Nun, da wir ein paar Regeln kennen gelernt haben, können wir uns weiter mit den Grenzwerten beschäftigen. Dabei haben wir uns bisher auf das Verhalten von x gegen +unendlich konzentriert. Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit, einen Grenzwert zu bestimmen. Genauso gut können wir das Verhalten eines Graphen bei -unendlich untersuchen, oder bei einem reellen (endlichen) Wert. Schauen wir uns dazu im Folgenden ein paar Beispiele an.

Endliche Werte

Beispiel 1:

$$ \lim_{x \to 3} 2\cdot x = ? $$

Der Grenzwert soll an der Stelle x untersucht werden. Dazu stellen wir uns vor, wie wir schrittweis die x-Werte entlang bis zu x=3 gehen. Wir erkennen, dass es an der Stelle 3, die wir untersuchen sollen, kein Problem gibt (wie zum Beispiel einen nicht-definierten Wert). Dadurch können wir den Wert x = 3 direkt einsetzen.

$$ \lim_{x \to 3} 2\cdot x = 2 \cdot 3 = 6 $$

Funktion A(3-6)

Beispiel 2:

Das geht nicht mehr, wenn wir beispielsweise eine Definitionslücke oder gar Polstelle haben. Untersuchen wir folgende Funktion:

$$\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2} = ?$$

Das schauen wir uns nun graphisch an (die rechnerische Gestaltung soll in der Lektion „Ableitung“ folgen).

Funktion 1(x-2)

Wir sehen hier, dass wir zwei unterschiedliche Grenzwerte haben, je nachdem von welcher Seite man sich den Grenzwert anschaut. Wenn wir von links kommen, haben wir den „linksseitigen Grenzwert“ mit -unendlich und wenn wir von rechts kommen, haben wir den „rechtsseitigen Grenzwert“ von +unendlich. Das schauen wir uns nach den nächsten Beispielen noch einmal genauer an.

Beispiel 3:

Nehmen wir uns noch ein Beispiel mit einer Definitionslücke (und nicht wie in Beispiel 2 einer Polstelle).

$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{x-2} = ? $$

Hier haben wir eine hebbare Definitionslücke, das heißt man kann die Nennernullstelle herauskürzen und hat keine Problemstelle mehr. Aber bitte daran denken: x = 2 ist weiterhin aus der Definitionsmenge herauszunehmen, da x = 2 in der Ursprungsfunktion nicht definiert ist. Wir können uns dennoch anschauen, was an der Stelle x = 2 passiert. Dazu dürfen wir die Funktion vereinfachen und kürzen. Dann einfach nur noch den Wert x = 2 einsetzen und den Wert ablesen (wir haben ja dann keine Problemstelle mehr).

$$ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} x-2 = 2-2 = 0 $$

Wir können den Grenzwert also zu 0 zu bestimmen. Wenn wir uns im Graphen die Definitionslücke anschauen, finden wir unsere Rechnung bestätigt.

Funktion (x-2)(x-2)

Unendliche Werte

Beispiel 4:

Wir haben unser Eingangsbeispiel mit x gegen unendlich angeschaut. Widmen wir uns nun der Betrachtung für x gegen -unendlich. Nehmen wir dazu direkt das Eingangsbeispiel. Das Vorgehen ist dabei genau das gleiche, nur muss man das Vorzeichen berücksichtigen

$$ \lim_{x\to -\infty} \frac{x-2}{x+1} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x\left(1-\frac2x\right)}{x\left(1+\frac1x\right)} $$

Bei der Betrachtung der kleinen Brüche in den Klammern spielt das Vorzeichen keine Rolle. Diese Werte werden mit oder ohne Vorzeichen gegen 0 streben. Wir haben also wieder den Grenzwert 1, wie wir uns auch wieder im Graphen bestätigen lassen können.

Funktion (x-2)(x+1)

Beispiel 5:

Betrachten wir noch schnell die Funktion f(x) = x³ in beide Richtungen. Wir erkennen sofort das Verhalten:

$$\lim_{x \to \infty} x^3 = \infty$$

$$\lim_{x \to -\infty} x^3 = \{(-\infty)^3 = -(\infty)^3\} = -\infty$$

Das in geschweiften Klammern wird so natürlich nie hingeschrieben und soll nur der Veranschaulichung dienen - dass das Vorzeichen vom Exponenten nicht ausgelöscht wird und deshalb berücksichtigt werden muss. Hier noch der Graph.

Funktion x3

Rechtseitiger, linksseitiger und beidseitiger Grenzwert

Wenn wir uns an Beispiel 2 zurückerinnern, so wurde dort der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert erwähnt. Darauf wollen wir nochmals genauer eingehen.

Haben wir eine reelle Nullstelle zu untersuchen, so muss man sich stets beide Seiten einer zur untersuchenden Stelle anschauen, um sicherzustellen, dass ein beidseitiger Grenzwert vorliegt. Ein solcher liegt vor, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Um den linksseitigen Grenzwert von dem rechtsseitigen zu unterscheiden, wird meist die Notation verwendet, dass man an den Stellenwert den man untersucht ein + (rechtsseitig) oder ein - (linksseitig) hochgestellt anfügt. Wir untersuchen nun die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) an der Stelle \(x = 0\).

$$\lim_{x\to0^{+}} \frac{1}{x^2} = ?$$

$$\lim_{x\to0^{-}} \frac{1}{x^2} = ?$$

Bestimmen wir dies mittels einer Wertetabelle:

Von rechts kommend:

x 1 0,5 0,1 0,01
y 1 4 100 10 000

Von links kommend:

x -1 -0,5 -0,1 -0,01
y 1 4 100 10 000

Wir können nun die jeweiligen Grenzwerte bestimmen zu:

$$\lim_{x\to0^{+}} \frac{1}{x^2} = +\infty$$

$$\lim_{x\to0^{-}} \frac{1}{x^2} = +\infty$$

Da der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert übereinstimmen, dürfen wir also den (beidseitigen) Grenzwert ausdrücken mit:

$$\lim_{x\to0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Funktion 1/x^2

Mathe-Programme

Zu dieser Lektion gibt es keine Matheprogramme.

Wollt ihr Grenzwerte berechnen, so empfehlen wir Wolframalpha, vergleiche Limes-Beispiel für f(x)=x²/(x+1)

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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Grenzwerten, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Bestimme den Grenzwert (einfach).

1. $$\lim_{x\to\infty} \frac{3}{x-2} = ?$$

2. $$\lim_{x\to 2} 5\cdot x = ? $$

3. $$\lim_{x\to\infty} x^3 = ?$$

4. $$\lim_{x\to -\infty} x^3 = ? $$

5. $$\lim_{x\to\infty} x = ?$$

B: Bestimme den Grenzwert (mittel).

1. $$\lim_{x\to\infty} \frac{3(x-2)}{x-2} = ?$$

2. $$\lim_{x\to2} \frac{3(x-2)}{x-2} = ?$$

3. $$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x} = ?$$

4. $$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x-2x^5} = ?$$

5. $$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2-2x}{x^3-2x} = ?$$

C: Bestimme den Grenzwert (schwer).

1. $$\lim_{x\to\infty} \frac{7(x^2-2)^2}{x^4-2x} = ?$$

2. $$\lim_{x\to 12} \frac{12(x^2-144)}{x-12} = ?$$

3. $$\lim_{x\to0} \frac{7x(x^2-2)^2}{x^4-2x} = ?$$

4. Existiert ein beidseitiger Grenzwert? (graphische Argumentation): $$\lim_{x\to7^{+}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} = \lim_{x\to7^{-}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} $$

5. Existiert ein beidseitiger Grenzwert? (graphische Argumentation): $$\lim_{x\to4^{+}} \frac{1}{x-4} = \lim_{x\to4^{-}} \frac{1}{x-4} $$

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Polynomfunktionen

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