Mathe F10: Symmetrie bei Funktionen

Inhalte:

Laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In diesen Mathevideos führen wir die Symmetrie ein. Wir zeigen, woran ihr die Symmetrie erkennt, was es für Symmetriearten gibt und vieles mehr. Wir haben für euch das Wissen komprimiert verpackt, sodass ihr wie immer schnell lernen könnt.

F10-1 Symmetrie bei Funktionen - Achsen- u. Punktsymmetrie

Wir schauen uns die Symmetrie zur y-Achse f(x)=f(-x) und die Symmetrie zum Koordinatenursprung f(x)=-f(-x) an. Wir zeigen, wie man auf die Formeln kommt und wie man die Symmetrie am Graphen erkennt.

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  • Wie kann man rechnerisch nachweisen, ob eine Funktion symmetrisch ist und welche Symmetrie vorliegt. Wie erkennt man bereits an der Funktionsgleichung die Symmetrieart (anhand der Exponenten). Begriffe: Gerade Funktion und ungerade Funktion. Koeffizienten beeinflussen Symmetrie nicht.
  • Ermittlung der Formeln für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten f(a+x)=f(a-x) und zu einem beliebigen Punkt (Symmetriezentrum) mit f(a+x)-b = -f(a-x)+b. Übungsaufgaben zur Symmetrie. Symmetrie bei linearen Graphen, konstanter Funktion, Asymptote, Sinus- und Kosinusgraphen.
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Wissen zur Lektion

Achsensymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zur y-Achse lautet (Achsensymmetrie):

f(x) = f(-x)

Das heißt, jeder Wert für x und dessen im Vorzeichen umgedrehter Wert -x haben den gleichen y-Wert.

Ein Beispiel hierfür wäre die Parabel f(x) = x2. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 22 = 4 = y. Wie oben beschrieben, muss das Gleiche auch für x = -2 gelten. So ist f(-2) = (-2)2 = 4 und damit liegt derselbe y-Wert vor.

f(x) = f(-x)
f(2) = f(-2)
4 = 4

Symmetrie bei der Parabel

Punktsymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zum Koordinatenursprung lautet (Punktsymmetrie):

f(x) = -f(-x)

Jetzt werden nicht nur die x-Werte umgekehrt, sondern auch die dazugehörigen y-Werte.

Ein Beispiel hierfür wäre die Gerade f(x) = x. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 2 = y. Nimmt man nun den x-Wert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen x = -2 wird der y-Wert -2 erwartet (also ebenfalls umgekehrten Vorzeichen), was tatsächlich auch so ist f(-2) = -2.

f(x) = -f(-x)
f(2) = -f(-2)
4 = -(-4)
4 = 4

Punktsymmetrie bei der Geraden

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten

In der Schule weniger geläufig, aber weiterhin wichtig: Die Formel für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten lautet (Achsensymmetrie):

f(a+x) = f(a-x)

Mit dem a berücksichtigen wir die Verschiebung der Symmetrieachse.

Für die Verschiebung der Parabel um 2 nach rechts erhalten wir die Funktionsgleichung f(x) = (x-2)2. Der y-Wert für x = 1 ist f(1) = (1-2)2 = 1 = y. Mit der obigen Formel können wir den Punkt finden, der ebenfalls den y-Wert 1 besitzt. Es gilt f(a+x) = f(a-x), wobei a = 2. Da wir uns bereits x = 1 angeschaut haben, wird nun x = 1 eingesetzt: f(2+1) = f(2-1) => f(3) = f(1). An der Stelle x = 3 finden wir also ebenfalls den y-Wert y = 1. Das sieht man auch im Graphen:

f(a+x) = f(a-x)
f(2+1) = f(2-1)
f(3) = f(1)
1 = 1

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Die Formel für die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt lautet (Punktsymmetrie):

f(a+x)-b = -f(a-x)+b

Hier berücksichtigen wir mit b die Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.

Das Symmetriezentrum S(a|b) ist der Punkt, an dem sich die Symmetrie orientiert. Für die Symmetrie zum Koordinatenursprung ist es Z(0|0).

Um ein Beispiel anzuführen nehmen wir die kubische Funktion f(x) = (x - 2)3 - 3 (Graph siehe unten). Der Symmetriepunkt liegt somit bei S(2|-3). Der y-Wert zu x = 1 ist f(1) = (1 - 2)3 - 3 = -4. Den y-Wert, welcher bei x = 3 zu erwarten ist, also 1 Einheit rechts vom Symmetriezentrum, errechnen wir mittels obiger Formel. Dabei ist x = 1, a = 2 und b = -3.

f(a+x) - b = -f(a-x) + b
f(2+1) - (-3) = -f(2-1) + (-3)
f(3) + 3 = -f(1) - 3
f(3) + 3 = -(-4) - 3
f(3) + 3 = 1    | -3
f(3) = -2

Wir sehen bereits in der zweiten Zeile, dass die gleiche Entfernung zum Symmetriezentrum vorliegt (1 nach links, 1 nach rechts). Für x = 3 erhalten wir f(3) = (3-2)3 - 3 = -2. Das sieht man auch gut am Graphen:

Punktsymmetrie beliebiger Punkt

Gerade Funktionen / Ungerade Funktionen

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die nur gerade Exponenten hat (also alle ganzzahligen Exponenten sind durch 2 teilbar, ohne Rest). Eine ungerade Funktion ist hingegen eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt.

Gerade Funktionen sind stets achsensymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x2 oder auch g(x) = x4 + x2 + x0 = x4 + x2 + 1). Ungerade Funktionen sind stets punktsymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x3 + x).

Die Koeffizienten (also die Zahlen in Multiplikation vor den Variablen, wie 3·x2) beeinflussen die Symmetrieart nicht.

Die Achsensymmetrie kann auch als Spiegelung an der Symmetrieachse verstanden werden. Die Punktsymmetrie kann als 180°-Drehung des Graphen um das Symmetriezentrum verstanden werden.

Mathe-Programme

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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Symmetrie bei Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Bestimme durch Anschauen des Graphen, welche Symmetrie vorliegt.

a)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe a

b)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe b

c)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe c

d)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe d

e)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe e

B: Bestimme rechnerisch, ob Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.

a) f(x) = x²

b) f(x) = x³

c) f(x) = 2x² + 5

d) f(x) = 2x³ + 5

e) f(x) = x4 + x²

f) f(x) = x³ + 2x²

C: Argumentiere, ob Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.

a) f(x) = x6 + 3x3 + 2x

b) f(x) = x4 + 7,5x2 + 1

c) f(x) = -5x10 + 7x8 + x6 + 3x5 + x2 + 2

d) f(x) = 3x9 - 7x5 + 3x3 - 12x

e) f(x) = x2015

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Punktsteigungsform, Punktsteigungsformel, Punkt-Steigungs-Formel

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