Mathe G29: Biquadratische Gleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

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Quartische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades. Fehlen x³ und x in der Gleichung, so sprechen wir von biquadratischen Gleichungen. Diese biquadratischen Gleichungen können wir mit Hilfe der Substitution lösen. Die Substitution bringt die Gleichung 4. Grades auf eine Gleichung 2. Grades, die sich dann mit den bekannten Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen berechnen lässt. Zusätzlich erklären wir im zweiten Video, mit welchen weiteren Lösungsverfahren ihr reduzierte Quartische Gleichungen lösen könnt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G29-1 Biquadratische Gleichungen - Substitution
    Übersicht zu Gleichungen 1. bis 3. Grades. Was sind biquadratische Gleichungen und wie können wir diese mit Hilfe der Substitution (Ersetzung) berechnen. Lösung am Beispiel: -0,5·x^4 + 4·x^2 - 3,5 = 0.
  • G29-2 Biquadratische Gleichungen - Quartische Gleichungen
    Wir lösen reduzierte Quartische Gleichungen (4. Grad) mit Wurzelziehen, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt. Lösung als Nullstellen von Funktionsgraphen. Zusammenfassung der Lösungsverfahren für die Gleichungstypen. Lösen einer Gleichung 6. Grades per Substitution.
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Wissen zur Lektion

Gleichungen niedriger Ordnung

Es gibt bestimmte Gleichungen, die sich besonders leicht klassifizieren, das heißt in bestimmte Klassen einteilen lassen. Die bekanntesten sind: Lineare, quadratische, kubische und quartische Gleichungen. Diese Klassifizierung hat ihren Ursprung in der Suche nach Nullstellen von Polynomen. Zur Erinnerung: Ein Polynom ist ein Term in der Form an·xn + ... + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 (vgl. Lektion F13), also zum Beispiel f(x) = 3·x2 + 2,5·x + 5. Jedes Polynom kann = 0 gesetzt werden, es ergibt sich dann eine Polynomgleichung, mit der wir für die Unbekannte den Wert suchen, der die Gleichung zu Null ergibt.

Im Folgenden werden einige Arten von Gleichungen (Polyonmgleichungen) vorgestellt.

Bei einer linearen Gleichung \(a·x + b = 0\) werden die Nullstellen eines linearen Polynoms \(a·x + b\) gesucht. Die Variablen a und b bilden die sogenannten Koeffizienten des Polynoms.

Eine quadratische Gleichung ist ein Ausdruck der Form \(a·x^2 + b·x + c = 0\). Es handelt sich um die Bestimmungsgleichung für die Nullstellen eines quadratischen Polynoms: \(a·x^2 + b·x + c\).

Schließlich ist \(a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0\) die allgemeine Darstellung einer kubischen Gleichung. Das Polynom auf der linken Seite der Gleichung heißt kubisches Polynom.

Ist der Grad des Polynoms auf der linken Seite 4 (also die höchste Potenz der Unbekannten ist \(x^4\), so nennt man die Gleichung zur Bestimmung seiner Nullstellen quartische Gleichung. Der Begriff kommt aus dem Lateinischen (quartus = vierte) und soll auf den 4. Grad des Polynoms in der Gleichung hindeuten: \(a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0\).

Gleichungen höherer Ordnung

Ganz allgemein ist ein Polynom n-ten Grades ein Ausdruck der Form
$$a_n·x^n + ... + a_2·x^2 + a_1·x + a_0$$
Entsprechend erhält man die Nullstellen dieses Polynoms durch die Forderung:
$$a_n·x^n + ... + a_2·x^2 + a_1·x + a_0 \color{blue}{= 0}$$

Es handelt sich dann um eine Gleichung n-ten Grades.

Gleichungen fünften oder höheren Grades sind mathematisch gesehen schon so kompliziert, dass man sich in der Schule mit Gleichungen bis maximal vierten Grades begnügt. Aber selbst hier gilt, dass man den Schülern beliebig gewählte Gleichungen dritten und vierten Grades im Allgemeinen nicht zumuten kann. Es ist übrigens so, dass eine allgemeine Lösungsdarstellung für Gleichungen vom Grad fünf oder höher nicht möglich ist. Mit sogenannten algebraischen Methoden (Berechnungsmethoden) lässt sich die Lösung einer Gleichung bis höchstens vierten Grades bewerkstelligen.

Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung

In der Schule lernt man heutzutage also hauptsächlich die Lösung linearer und quadratischer Gleichungen. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung (siehe oben) erhalten Schüler zum Beispiel durch die abc-Formel (Mitternachtsformel):

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4·a·c}}{2·a} $$

Eine quadratische Gleichung heißt normiert, wenn der Koeffizient vor dem \( x^2 \) gleich Eins ist. Die so erhaltene Normalform wird ganz häufig auch mit den Koeffizienten \(p\) und \(q\) in dem linearen Term (vor dem \(x\)) und dem konstanten Term ausgestattet:

$$ x^2 + px + q = 0$$

Die Lösungsformel hierfür mag dem ein oder anderen Schüler bekannt vorkommen, es ist die sogenannte p-q-Formel:

$$ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} $$

Ob eine quadratische Gleichung in der Schule mit den Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) oder mit den Koeffizienten \(p\) und \(q\) dargestellt wird, hängt von der Region oder dem Bundesland ab.

Noch einfacher lässt sich übrigens die Lösung einer linearen Gleichung a·x + b = 0 darstellen: \( x = \frac{-b}{a} \).

Biquadratische Gleichungen

Eine spezielle Gleichungsklasse bilden die sogenannten biquadratischen Gleichungen. Dies sind Gleichungen vierter Ordnung, in denen die Variable nur in geraden Potenzen vorkommt:

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 $$

Dies ist, wie man sieht, eine spezielle quartische Gleichung. Es sind \(b=0\) und \(d=0\) gewählt. Durch einen einfachen "Trick", und zwar die Substitution (Ersetzung) von \(x^2\) durch \(z\), erhält man eine quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\):

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \\ a·(x^2)^2 + c·x^2 + e = 0 \\ a·z^2 + c·z + e = 0 $$

Diese Gleichung kann nun wieder mit der herkömmlichen Mitternachtsformel oder der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält meist zwei Lösungen für \(z\) (\(z_{+}\) und \(z_{-}\)) und kann durch Rücksubstitution wegen \(x^2 = z\) bis zu vier Lösungen für \(x\) erhalten:

$$ x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{+}} \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_{-}} $$

Die Gleichung \( a·z^2 + c·z + e = 0 \) muss für die allgemeine Mitternachtsformel natürlich mit den Koeffizienten als \( a·z^2 + b·z + c = 0 \) betrachtet werden. Zur Anwendung der p-q-Formel muss die gesamte Gleichung (also jeder einzelne Summand) durch \( a \) geteilt werden. Es ergibt sich \( p = \frac{c}{a} \) und \( q = \frac{e}{a} \).

Beispiellösung einer biquadratischen Gleichung

Es sei durch
$$ x^4 - 4x^2 + 3 = 0 $$ eine biquadratische Gleichung gegeben. Die Substitution \( z = x^2 \) führt zu der Gleichung

$$ z^2 - 4 z + 3 = 0 $$

Es ist \( p = -4 \) und \( q = 3 \). Die Gleichung liegt glücklicherweise schon in Normalform vor. Als Nullstellen für \( z \) ergeben sich

$$ z_{1} = -\left(\frac{-4}{2}\right) + \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt{1} = 3 $$

und

$$ z_{2} = \left(-\frac{-4}{2}\right) - \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt{1} = 1 $$

Die vier Lösungen der biquadratischen Gleichung in \( x \) erhält man durch Rücksubstitution:

$$ x_1 = \sqrt{z_{1}} = \sqrt{3} \approx 1,73 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = - \sqrt{3} \approx -1,73 \\ x_3 = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = - \sqrt{1} = -1 $$

Spezielle Typen quartischer Gleichungen

Einige Typen quartischer Gleichungen, das heißt Gleichungen der Form

$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$

lassen sich trotz der allgemeinen Kompliziertheit besonders einfach lösen.

Reinquartische Gleichungen

Sofern b=0, c=0 und d=0 sind, ergibt sich die Form:

$$ ax^4 + e = 0 $$

Dieser Typ lässt sich ganz allgemein betrachten, die Koeffizienten \(a\) und \(e\) können durch Zahlen ersetzt werden, je nachdem, welche Zahlen in der jeweiligen Aufgabenstellung vorliegen:

$$ \begin{align} a·x^4 + e = 0 &\quad\vert -e \\ a·x^4 = -e &\quad\vert :a \\ x^4 = -\frac{e}{a} &\quad\vert \pm \sqrt[4]{\quad} \\ x = \pm \sqrt[4]{-\frac{e}{a}} \end{align} $$

An der letzten Gleichung erkennt man, dass \( -\frac{e}{a} \) positiv sein muss (die Zahl unter dem Wurzelzeichen, der Radikand, muss positiv sein). Damit muss genau einer der beiden Koeffizienten \(a\) und \(e\) negativ sein, damit eine reelle Lösung existiert.

Sei zum Beispiel durch \(x^4 - 81 = 0 \) eine quartische Gleichung gegeben. Dann ergeben sich die reellen Lösungen durch

$$ x_{1,2} = \pm \sqrt[4]{-\left(\frac{-81}{1}\right)} = \pm 3 $$

Dies kann man nachvollziehen, indem man im oben angegebenen Lösungsweg die Variablen \(a\) und \(e\) durch die Zahlen \(1\) und \(-81\) ersetzt.

Lösungen von Gleichungen endlicher Ordnung als Nullstellen von Polynomfunktionen

Wird die linke Seite der quartischen Gleichung \( a·x^4 + e = 0 \) als Polynomfunktion \(p(x) = a·x^4 + e \) aufgefasst, so entsprechen die Lösungen der quartischen Gleichung den Nullstellen der Polynomfunktion.

Ganz allgemein lässt sich feststellen, dass die Nullstellen einer Polynomfunktion in natürlicher Weise den Lösungen der dazugehörigen Gleichung endlicher Ordnung, und zwar \(p(x) = 0\), entsprechen.

Hier als Beispiel ein Bild der Polynomfunktion f(x) = x4 - 5·x2 + 4 mit ihren vier Nullstellen x = -2, x = -1, x = 1, x = 2.

Polynomfunktion

"Endlicher Ordnung" meint hier übrigens, dass der Grad der Funktion endlich sein muss. Es sind Polynomfunktionen gemeint.

Quartische Gleichung mit quadratischem Glied

Sind bei einer quartischen Gleichung b=0, d=0 und e=0, so erhalten wir folgende Form:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 $$

Dieser Gleichungstyp vierter Ordnung lässt sich durch das Ausklammern des Faktors \(x^2\) vereinfachen:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ (a·x^2 + c)·x^2 = 0 $$

\( x = 0 \) resultiert als doppelte Nullstelle aus \( x^2 = 0 \) und das Problem reduziert sich zu:

$$ a·x^2 + c = 0 $$

Die Begründung für diese Vereinfachung liegt darin, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn wenigstens einer seiner Faktoren Null ist. Dieser einfache Zusammenhang wird gelegentlich als Satz vom Nullprodukt bezeichnet.

Die Lösungen zu dieser Gleichung erhält man auf ähnliche Weise wie für den Gleichungstyp a·x4 + e = 0. Sie ergeben sich zu

$$ x_{1,2} = \sqrt{-\frac{c}{a}} $$

Wieder sieht man, dass für die Existenz weiterer Nullstellen genau einer der beiden Koeffizienten \(a\) oder \(c\) negativ sein muss.

Sei zum Beispiel durch \( -x^4 + 25x^2 = 0 \) eine solche Gleichung gegeben. Dann ist die doppelte Nullstelle \( x_{1} = 0 \). Die anderen beiden Nullstellen ergeben sich aus

$$ x_{2,3} = \pm \sqrt{-\left(\frac{25}{-1}\right)} = \pm 5 $$

Dies kann man bei Interesse oder einfach zur Übung auch handschriftlich mit den beiden konkreten Koeffizienten \( a= -1\) und \(c = 25 \) nachvollziehen.

Eine andere Möglichkeit, die Nullstellen zu nummerieren, ist die doppelte Nullstelle als zwei übereinanderfallende Nullstellen \( x_{1} = x_{2} = 0 \) aufzufassen. Die anderen beiden (nicht-trivialen) Nullstellen erhalten dann die Bezeichnung \( x_{3} \) und \( x_{4} \).

Es sei aber darauf hingewiesen, dass \( x_{1} = x_{2} = 0 \) eigentlich nur eine einzige Nullstelle ist, die aufgrund ihrer Vielfachheit (ihre Vielfachheit ist zwei) zwei verschiedenen Namen x1 und x2 trägt.

Die Nullstellen einer quartischen Funktion lassen sich aus ihrer grafischen Darstellung ablesen. Als Beispiel sei der Graph der Funktion f(x) = -x4 + 4·x2 mit doppelter Nullstelle bei x = 0 gezeigt:

Polynomfunktion doppelte Nullstelle

Quartische Gleichung ohne Absolutglied

$$ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 $$

Bei diesem Typ fehlt das absolute Glied oder Absolutglied. Diese Bezeichnung steht für den konstanten Term \( e \) einer Polynomfunktion. Dass dieser fehlt ist gleichbedeutend damit, dass er in der allgemeinen Darstellung gleich Null gesetzt wird \( e = 0 \).

In diesem Fall lässt sich immerhin noch ein x innerhalb der Nullstellenbestimmungsgleichung ausklammern:

$$ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 \\ (a·x^3 + b·x^2 + c·x + d)·x = 0 $$

Der Satz vom Nullprodukt (siehe oben) erlaubt es nun wieder, das Problem der Nullstellensuche auf die kubische Gleichung

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$

reduziert zu betrachten. Diese ist zwar im Allgemeinen immer noch schwierig zu lösen, im Rahmen von Aufgaben in der Schule lassen sich Nullstellen allerdings meist raten oder sind besonders offensichtlich oder sogar in der Aufgabenstellung vorgegeben.

Zusammenfassung

Lineare und quadratische Gleichungen lassen sich besonders leicht lösen. Quadratische Gleichungen lassen sich durch die abc-Formel (Mitternachtsformel) oder durch die p-q-Formel darstellen und mit Hilfe dieser Formeln finden.

Gleichungen der 3. Ordnung heißen kubische Gleichungen. Kubische Gleichungen können bereits schwierig zu lösende Gleichungen sein.

Gleichungen der Form \(a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0\) heißen quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Ordnung). Ihre Lösbarkeit und die Darstellungen ihrer Lösungen sind Gegenstand der höheren Mathematik.

In der Schule tauchen quartische Gleichungen meistens in einer vereinfachten Formen auf. Beispiele für vereinfachte Formen sind

$$ a·x^4 + e = 0 \quad|\quad \text{b = c = d = 0} \\ a·x^4 + c·x^2 = 0 \quad|\quad \text{ b = d = e = 0} \\ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 \quad|\quad e = 0 $$

Die Form ohne b und d (b=0 und d=0) ist \( a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \) Dies ist die sogenannte biquadratische Gleichung, sie ist die häufigste in der Schule auftauchende Form quartischer Gleichungen. Diese Gleichungen lassen sich durch die Substitution \( z = x^2 \) auf quadratische Gleichungen in \( z \) zurückführen: \( a·z^2 + c·z + e = 0 \)

Die Form \( a·x^6 + b·x^3 + c = 0 \) ist ein weiteres Beispiel einer Gleichung höherer Ordnung (hier: sechster Ordnung oder sechsten Grades), die sich durch eine Substitution (nämlich \( z = x^3 \)) lösen lässt.

In Schulaufgaben werden oft solche quartischen Gleichungen gegeben, die leicht zu ratende oder gar in der Aufgabenstellung vorgegebene Nullstellen haben.

Mathe-Programme Biquadratische Gleichungen

Nachdem ihr die Unbekannten einer Gleichung substituiert habt und nur noch eine Quadratische Gleichung vorliegt, könnt ihr das folgende Programm zum Lösen Quadratischer Gleichungen nutzen, um die Lösungen zu bestimmen:

  • Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Dieses Programm löst beliebige quadratische Gleichungen mit Hilfe der p-q-Formel, inklusive Rechenweg.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

1. Lineare Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender linearer Gleichungen:

a) 2·x + 4 = 0

b) 10·x - 10 = 0

c) 9·x - 3 = 0

d) -4·x + 12 = 0

2. Quadratische Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen:

a) x² + x - 2 = 0

b) x² + 4·x - 5 = 0

c) 2·x² - 2·x - 12 = 0

d) 8·x² + 2·x - 3 = 0

3. Kubische Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender kubischer Gleichungen:

a) x³ - x = 0

b) x³ - x² - 6·x = 0

4. Biquadratische Gleichungen - ein spezieller Typ der quartischen Gleichungen

Bestimme die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichungen:

a) \( x^4 - 10·x^2 + 9 = 0 \)

b) \( x^4 - 13·x^2 + 36 = 0 \)

c) \( x^4 - 6·x^2 + 5 = 0 \)

d) \( x^4 + x^2 - 6 = 0 \)

5. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x4 + e = 0

Bestimme die Lösungen der folgenden quartischen Gleichungen der Form \( ax^4 + e = 0 \):

a) \( 5·x^4 - 80 = 0 \)

b) \( -2·x^4 + 162 = 0 \)

c) \( x^4 + 16 = 0 \)

6. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x4 + c·x² = 0

a) \( x^4 - x^2 = 0 \)

b) \( 2·x^4 - 8·x^2 = 0 \)

c) \( 3·x^4 - 27·x^2 = 0 \)

7. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x4 + b·x³ + c·x² + d·x = 0

a) \( x^4 - 2·x^3 - x^2 + 2·x = 0 \)

b) \( 2·x^4 - 3·x^3 - 0,5·x^2 + \frac{3}{4}·x = 0 \)

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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