TRI06: Tangens einfach erklärt

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

Nach Sinus und Kosinus folgt nun der Tangens, also das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Was das genau bedeutet, erfahrt ihr einfach erklärt in den Mathe-Videos. Testet auch die Matheprogramme zum Tangens.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI06-1 Tangens - Einfache Einführung

    Was ist der Tangens, wie ist er definiert. Was bedeutet das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete. Anwendung des Tangens zur Seitenbestimmung und Anwendung des Arkustangens zur Winkelbestimmung.

  • TRI06-2 Tangens - Tangens für Winkel von 0° bis 180°

    Tangens von 0° bis 180° im Koordinatensystem ablesen, besondere Tangenswerte für 0°, 90° und 180°. Negativer Tangens. Tangens als Steigung. Ermittlung der Steigung einer linearen Funktion mit Hilfe des Tangens.

  • TRI06-3 Tangens - Zusammenfassung + Aufgaben lösen

    Zusammenfassung des neuen Wissens. Tangens als Sinus/Kosinus. Aufgaben: Höhenbestimmung aus Winkel und Distanz. Winkelbestimmung aus Höhe und Distanz. Wann nutzt man Sinus, Kosinus oder Tangens.

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Wissen zur Lektion

Einführung

Stellen wir uns vor, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit den Längenangaben für Seite a und Seite b.

Um den Winkel β zu bestimmen, können wir jetzt nicht den Sinus benutzen, denn dieser verlangt Seite b und Seite c, also sin(β) = b/c. Auch der Kosinus hilft uns nicht weiter, denn dieser benötigt Seite a und Seite c, also cos(β) = a/c.

Um den Winkel β direkt aus den Seiten a und b berechnen zu können, verwenden wir den sogenannten Tangens:

tan(β) = GK / AK

tan(β) = b / a

Was ist der Tangens?

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Wie auch beim Sinus und Kosinus, ist der Tangenswert bei festem Winkel immer gleich, egal wie groß wir unser rechtwinkliges Dreieck wählen. Ein Beispiel mit Winkel β = 30°: Der Tangens lautet tan(30°) ≈ 0,577. Dies besagt, dass die Gegenkathete 0,577 mal so lang ist wie die Ankathete.

Zeichnen wir ein Beispieldreieck hierzu:

HY = 11,54 cm
GK = 5,77 cm
AK = 10 cm

tan(30°) = GK / AK = 5,77 cm / 10 cm = 0,577

GK / AK = 0,577
GK = 0,577 · AK

Selbst wenn wir jetzt andere Seitenlängen wählen, doch den Winkel bei 30° lassen, ändert sich das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete nicht, tan(30°) ist weiterhin 0,577. Also die Gegenkathete ist 0,577 mal so lang wie die Ankathete. Ein weiteres Beispieldreieck:

HY = 8,66 cm
GK = 4,33 cm
AK = 7,5 cm

tan(30°) = GK / AK = 4,33 cm / 7,5 cm ≈ 0,577

GK / AK = 0,577
GK = 0,577 · AK

Mögliche Tangenswerte

Beim rechtwinkligen Dreieck gilt: Ist die Gegenkathete kleiner als die Ankathete (GK < AK), dann ist der Tangenswert kleiner als 1. Ist die Gegenkathete genauso lang wie die Ankathete (GK = AK), dann ist der Tangenswert 1. Ist die Gegenkathete größer als die Ankathete (GK > AK), dann ist der Tangenswert größer als 1.

Ein paar Beispielwerte:

tan(0°) = 0 (da für GK/AK die GK = 0 ist und 0/AK = 0)
tan(30°) ≈ 0,577
tan(40°) ≈ 0,839
tan(45°) = 1
tan(60°) ≈ 1,732
tan(90°) = nicht definiert (da für GK/AK die AK = 0 ist und GK/0 = nicht definiert)

Tangens als Verhältnis von Sinus / Kosinus

Schauen wir uns die Definition des Tangens an und schreiben Sinus und Kosinus dazu:

sin(β) = GK / HY → umgestellt nach GK ergibt: GK = sin(β) · HY
cos(β) = AK / HY → umgestellt nach AK ergibt: AK = cos(β) · HY

Wir setzen diese beiden Formeln in die Tangensformel ein:

tan(β) = GK / AK   | GK = sin(β) · HY

tan(β) = (sin(β) · HY) / AK   | AK = cos(β) · HY

tan(β) = (sin(β) · HY) / (cos(β) · HY)

Offensichtlich können wir HY aus Zähler und Nenner des Bruches herauskürzen und es ergibt sich:

tan(β) = sin(β) / cos(β)

Dies ist eine weitere Definition des Tangens: Der Tangens des Winkels ergibt sich aus dem Verhältnis von Sinus des Winkels zu Kosinus des Winkels.

Tangens in den Taschenrechner eingeben

Nachfolgend eine kleine Animation, die euch zeigt, wir ihr den Tangenswert von einem Winkel mit dem Taschenrechner erhaltet.

Tangens in Taschenrechner eingeben

Arkustangens: Winkel aus Tangenswert berechnen

Den Tangens kann man auch umkehren, das heißt, aus einem gegeben Tangenswert lässt sich der Winkel ermitteln. Die Schreibweise mit einer hoch (-1) entspricht der beim Arkussinus und Arkuskosinus:

tan(45°) = 1
  → tan-1( 1 ) = 45°

tan(30°) ≈ 0,577
  → tan-1( 0,577 ) = 29,9849460073978529… ≈ 30°

Arkustangens in Taschenrechner eingeben

Dreiecksseiten mit Tangens bestimmen

Gegeben sind a = 5 cm und b = 4,2 cm. Wir sollen den Winkel β bestimmen.

Wir nutzen sofort den Tangens hierfür:

tan(β) = GK / AK
tan(β) = b / a
tan(β) = 4,2 cm / 5 cm
tan(β) = 0,84

Nun wissen wir, dass die Gegenkathete 0,84 mal so lang ist wie die Ankathete. Nutzen wir nun den Arkustangens, um den dazugehörigen Winkel zu bestimmen:

tan(β) = 0,84   | tan-1
tan-1(tan(β)) = tan-1(0,84)
β = tan-1(0,84)
β ≈ 40°

Der gesuchte Winkel β ist also rund 40° groß. Hinweis: Achtet unbedingt darauf, dass euer Rechner den Modus "DEG" (Gradmaß) anzeigt und nicht "RAD" (Radiant/Bogenmaß).

Tangens am Dreieck ablesen

Wenn die Hypotenuse 1 lang ist, dann können wir den Sinuswert an der Gegenkathete ablesen (deren Länge entspricht dem Sinuswert) und den Kosinuswert an der Ankathete. Dies hatten wir in der Lektion TRI04 Sinus und Kosinus kennengelernt.

Den Tangens können wir ebenfalls ablesen, jedoch müssen wir hierzu eine weitere Strecke einzeichnen. Sie beginnt im Koordinatensystem bei P(1|0) und verläuft senkrecht nach oben, bis sie die verlängerte Hypotenuse trifft. Siehe Abbildung:

Tangens am Dreieck ablesen

Die Länge der orangen Strecke gibt uns den Tangenswert an.

Die Steigung mit Hilfe des Tangens berechnen

Der Tangenswert entspricht der Steigung. Beispiel: tan(35°) = 0,7. Das heißt, wenn die Hypotenuse ein linearer Funktionsgraph wäre, dann würde dieser mit 0,7 steigen. Die Funktionsgleichung würde lauten: f(x) = 0,7·x

Statt wie bei den linearen Funktionen zu schreiben: f(x) = m·x können wir jetzt genausogut schreiben: f(x) = tan(β)·x, da m = GK/AK = tan(β).

Den Steigungswinkel eines Funktionsgraphen bestimmen

Jetzt, wo wir wissen, dass der Tangens der Steigung entspricht, können wir auch jederzeit den Steigungswinkel aus dem Steigungswert (dem Tangenswert) bestimmen:

Gegeben ist die Funktionsgleichung: f(x) = 1,6·x und gefragt ist nach dem Winkel, mit dem diese Funktion steigt. Um dies zu bestimmen, legen wir fest:

f(x) = 1,6·x
f(x) = m·x
f(x) = tan(β)·x

tan(β) = 1,6   | Arkustangens verwenden: tan-1()
tan-1(tan(β)) = tan-1(1,6)
β = tan-1(1,6)
β ≈ 58°

Der Graph der Funktion steigt also mit 58°. Er sieht wie folgt aus:

Das Wort "Tangens"

Vielleicht fragt ihr euch, warum man "Tangens" sagt. Dazu müsst ihr wissen, dass man den Tangens auch am sogenannten Einheitskreis ablesen kann:

Tangens am Einheitskreis

Wie wir sehen können, berührt die Tangente den Kreis in nur einem Punkt. Auf lateinisch heißt "berühren" "tangere", daher sagen wir Tangens.

Tangenswerte für Winkel von 90° bis 180°

Der Tangens ist auch für Winkel über 90° definiert. Hierzu verwendet man einen Halbkreis und zeichnet die Hypotenuse gemäß der Winkelgröße auf die linke Seite:

Tangens bis 180 Grad

Dabei stellt man fest, dass der Sinuswert immer noch positiv ist, der Kosinuswert jedoch negativ wird.

Gemäß der Definition tan(β) = sin(β) / cos(β) ergibt sich tan(β) = [+] / [-] = [-] also ein negativer Wert für den Tangens. Wichtig: Damit entspricht die Länge der Tangensstrecke nicht mehr dem Tangenswert, denn sie darf nicht negativ sein. Jedoch können wir den Betrag von Tangens (also den positiven Wert) bilden und diesen als Länge abtragen.

Dass der Tangens für Winkel zwischen 90° und 180° negativ sein muss, erkennen wir auch, wenn wir uns die Hypotenuse wieder als Graph einer linearen Funktion denken. Es ergibt sich ein negativer Wert für die Steigung, was wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zeigen könnten.

Der Tangens von 180° ist übrigens 0, da die GK = 0 ist. Damit tan(180°) = GK/AK = 0/AK = 0. Also genau wie bei tan(0°) = 0.

Wann nutzt man bei Aufgaben den Sinus, Kosinus oder Tangens?

Voraussetzung ist, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck haben. Nur dann können wir Sinus, Kosinus und Tangens direkt anwenden.

Im Folgenden die Fälle, wann Sinus, Kosinus oder Tangens anzuwenden sind:

Wann Sinus, Kosinus oder Tangens am Dreieck anwenden

Auch die Winkel lassen sich bestimmen:

Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens am Dreieck anwenden

Tangenswerte größer 1 und kleiner -1

Abschließend sei noch erwähnt, dass der Tangens sehr hohe Werte annehmen kann, aber auch sehr niedrige Werte. Zum Beispiel: tan(89,99°) ≈ 5729,578 und tan(90,01°) ≈ -5729,578. Dies steht im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen können. Alle Details hierzu lernen wir beim Einheitskreis kennen.

Tabelle der Tangenswerte von 0° bis 180°

Die folgende Tabelle zeigt einige Tangenswerte bei Dreiecken, meist muss gerundet werden. Merken wir uns, dass tan(0°) = tan(180°) = 0 und dass tan(90°) = nicht definiert ist.

Winkel Tangenswert Tangenswert gerundet
0,0000,000
10°0,1763269807084640,176
20°0,3639702342662020,364
30°0,5773502691896250,577
40°0,8390996311772800,840
45°1,0001,000
50°1,1917535925942101,192
60°1,7320508075688771,732
70°2,7474774194546222,748
80°5,6712818196177105,671
90°nicht definiertnicht definiert
100°-5,671281819617710-5,671
110°-2,747477419454622-2,748
120°-1,732050807568877-1,732
130°-1,191753592594210-1,192
140°-0,839099631177280-0,839
150°-0,577350269189626-0,577
160°-0,363970234266202-0,364
170°-0,176326980708465-0,176
180°0,0000,000

Mathe-Programme zum Tangens

  • Sinus und Kosinus: Seitenverhältnisse Sinus und Kosinus: Seitenverhältnisse
    Seht hier die Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck, die zu Sinus und Kosinus führen. Sinus als Verhältniswert von Gegenkathete/Hypotenuse und Kosinus als Ankathete/Hypotenuse.
  • Tangens beim rechtwinkligen Dreieck Tangens beim rechtwinkligen Dreieck
    Entdeckt hier die Tangens-Werte für Winkel von 0° bis 90°. Der Tangens ergibt sich aus Gegenkathete durch Ankathete aber auch aus dem Verhältnis Sinus durch Kosinus.
  • Tangens für Winkel bis 180 Grad
    Tangens für Winkel bis 180 Grad
    Bei diesem Programm werden die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel von 0° bis 180° angezeigt. Kosinus und Tangens sind bei Winkeln zwischen 90° und 180° negativ!
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Tags: Trigonometrie, Einführung, Tangens, Herleitung, Sinus, Kosinus, Dreiecksberechnung

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