Kosekans am Einheitskreis

Kosekans (also die Kehrwertfunktion von Sinus) können wir auch direkt am Einheitskreis ablesen. Die Länge der lila Linie gibt den Wert für Kosekans an:

Kosekans Einheitskreis

sin(30°) = 0,5

csc(30°) = \( \frac{1}{0,5} = 2 \)

Kosekans lässt sich an dieser Strecke ablesen, weil sich mit ihr ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt ergibt:

Kosekans Einheitskreis Dreieck ablesen

Die Gegenkathete bzw. Höhe ist immer 1, siehe gestrichelte Linie bei y = 1, egal welchen Winkel wir einstellen (zwischen und 180°).

Das heißt bei:

\( \sin(α) = \frac{GK}{HY} \)

können wir GK = 1 einsetzen und erhalten:

\( \sin(α) = \frac{1}{HY} \)

\( HY = \frac{1}{\sin(α)} \)

Und wir wissen, dass \( \frac{1}{\sin(α)} \) die Kehrwertfunktion von Sinus ist, also Kosekans. Daher entspricht die Länge der Hypotenuse dem Wert für Kosekans: \( HY = \frac{1}{\sin(α)} = \csc(x) \)

Am Einheitskreis erkennt man auch, dass die Werte nicht zwischen -1 und 1 liegen können, da die Hypotenuse nie kürzer als die Gegenkathete sein kann.

Aufzupassen ist bei , denn csc(0°) = \( \frac{1}{\sin(0°)} \) = \( \frac{1}{0} \) = nicht definiert.

Gleiches bei 180°, denn csc(180°) = \( \frac{1}{\sin(180°)} \) = \( \frac{1}{0} \) = nicht definiert.

Zu merken ist außerdem: csc(90°) = \( \frac{1}{\sin(90°)} \) = \( \frac{1}{1} \) = 1

Wenn wir Winkel zwischen 180° und 360° haben, dann ergeben sich negative Werte für Kosekans. Beispiele:

csc(230°) = \( \frac{1}{\sin(230°)} \) = -1,3054…

csc(270°) = \( \frac{1}{\sin(270°)} \) = \( \frac{1}{-1} \) = -1

csc(320°) = \( \frac{1}{\sin(320°)} \) = -1,5557…

csc(360°) = \( \frac{1}{\sin(360°)} \) = \( \frac{1}{0} \) = nicht definiert