Kosekans am Einheitskreis

Kosekans (also die Kehrwertfunktion von Sinus) können wir auch direkt am Einheitskreis ablesen. Die Länge der lila Linie gibt den Wert für Kosekans an:

Kosekans Einheitskreis

sin(30°) = 0,5

csc(30°) = \( \frac{1}{0,5} = 2 \)

Kosekans lässt sich an dieser Strecke ablesen, weil sich mit ihr ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt ergibt:

Kosekans Einheitskreis Dreieck ablesen

Die Gegenkathete bzw. Höhe ist immer 1, siehe gestrichelte Linie bei y = 1, egal welchen Winkel wir einstellen (zwischen 0° und 180°).

Das heißt bei:

sin(α) = GK / HY

können wir GK = 1 einsetzen und erhalten:

sin(α) = 1 / HY

HY = 1 / sin(α)

Und wir wissen, dass 1 / sin(α) die Kehrwertfunktion von Sinus ist, also Kosekans. Daher entspricht die Länge der Hypotenuse dem Wert für Kosekans: HY = 1 / sin(α) = csc(x)

Am Einheitskreis erkennt man auch, dass die Werte nicht zwischen -1 und 1 liegen können, da die Hypotenuse nie kürzer als die Gegenkathete sein kann.

Aufzupassen ist bei 0°, denn csc(0°) = 1 / sin(0°) = 1 / 0 = nicht definiert.

Gleiches bei 180°, denn csc(180°) = 1 / sin(180°) = 1 / 0 = nicht definiert.

Zu merken ist außerdem: csc(90°) = 1 / sin(90°) = 1 / 1 = 1

Wenn wir Winkel zwischen 180° und 360° haben, dann ergeben sich negative Werte für Kosekans. Beispiele:

csc(230°) = 1 / sin(230°) = -1,3054…

csc(270°) = 1 / sin(270°) = 1/(-1) = -1

csc(320°) = 1 / sin(320°) = -1,5557...

csc(360°) = 1 / sin(360°) = 1/0 = nicht definiert

  Schreib uns deine Hinweise