Kotangens - Kehrwertfunktion von Tangens

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Die Kehrwertfunktion von Tangens ergibt sich mit:

f(x) = tan(x)   | Kehrwert bilden

g(x) = \( \frac{1}{\tan(x)} \)

Die Kehrwertfunktion nennen wir “Kotangens”. Abkürzung: cot(x)

Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Gegenkathete und Ankathete ein:

f(x) = tan(x) = \( \frac{GK}{AK} \)   | Kehrwert bilden

g(x) = \( \frac{1}{\frac{GK}{AK}} = \frac{AK}{GK} \)

Diese Kehrwertfunktion gibt uns an, in welchem Verhältnis die Ankathete zur Gegenkathete steht.

Zeichnen wir ihren Graphen:

~plot~ 1/tan(x) ~plot~

Wir erkennen, dass die Kotangensfunktion alle reellen Zahlen als Wertebereich hat.

Ist cot(90°) definiert?

Beim Kotangens gibt es eine wichtige Sache, die wir beachten müssen. Wie wir wissen ist tan(90°) nicht definiert. Wenn wir jetzt sagen würden:

\( cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \)

dann hieße das bei x = 90°:

\( cot(90°) = \frac{1}{\tan(90°)} \)

Und da tan(90°) nicht definiert ist, ist \( \frac{1}{\tan(90°)} \) ebenfalls nicht definiert, womit auch cot(90°) nicht definiert wäre.

Aber: Kotangens ist definiert als Ankathete durch Gegenkathete und damit auch schreibbar als cos(x) durch sin(x):

\( cot(x) = \frac{AK}{GK} \)

\( cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)

Da: \( cot(x) = \frac{\frac{AK}{HY}}{\frac{GK}{HY}} = \frac{AK}{GK} \)

Damit:

\( cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)   | x = 90°

\( cot(90°) = \frac{\cos(90°)}{\sin(90°)} \)

\( cot(90°) = \frac{0}{1} \)

\( cot(90°) = 0 \)

Der Kotangens von 90° ist also definiert! Er ist 1. Daher sollte man bei der Definition von cot(x) stets angeben:

cot(x) = cos(x) / sin(x) statt cot(x) = 1 / tan(x)

Für Kotangens gilt also:

cot(0°) = cos(0°) / sin(0°) = 1 / 0 = nicht definiert

cot(90°) = cos(90°) / sin(90°) = 0 / 1 = 0

cot(180°) = cos(180°) / sin(180°) = -1 / 0 = nicht definiert

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