Kotangens - Kehrwertfunktion von Tangens

Die Kehrwertfunktion von Tangens ergibt sich mit:

f(x) = tan(x)   | Kehrwert bilden

g(x) = \( \frac{1}{\tan(x)} \)

Die Kehrwertfunktion nennen wir „Kotangens“. Abkürzung: cot(x)

Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Gegenkathete und Ankathete ein:

f(x) = tan(x) = \( \frac{GK}{AK} \)   | Kehrwert bilden

g(x) = \( \frac{1}{\frac{GK}{AK}} = \frac{AK}{GK} \)

Diese Kehrwertfunktion gibt uns an, in welchem Verhältnis die Ankathete zur Gegenkathete steht.

Zeichnen wir ihren Graphen:

~plot~ 1/tan(x);noinput ~plot~

Wir erkennen, dass die Kotangensfunktion alle reellen Zahlen als Wertebereich hat.

Ist cot(90°) definiert?

Beim Kotangens gibt es eine wichtige Sache, die wir beachten müssen. Wie wir wissen ist tan(90°) nicht definiert. Wenn wir jetzt sagen würden:

\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \)

dann hieße das bei x = 90°:

\( \cot(90°) = \frac{1}{\tan(90°)} \)

Und da tan(90°) nicht definiert ist, ist \( \frac{1}{\tan(90°)} \) ebenfalls nicht definiert, womit auch cot(90°) nicht definiert wäre.

Aber: Kotangens ist definiert als Ankathete durch Gegenkathete und damit auch schreibbar als cos(x) durch sin(x):

\( \cot(x) = \frac{AK}{GK} \\ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)

Da: \( cot(x) = \frac{\frac{AK}{HY}}{\frac{GK}{HY}} = \frac{AK}{GK} \)

Damit:

\( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \qquad | x = 90° \\ \cot(90°) = \frac{\cos(90°)}{\sin(90°)} \\ \cot(90°) = \frac{0}{1} \\ \cot(90°) = 0 \)

Der Kotangens von 90° ist also definiert. Er ist 0.

Daher sollte man bei der Definition von cot(x) stets angeben:

\( \cot(x) = \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } \)

und nicht: \( \cot(x) = \frac{ 1 }{ \tan(x) } \)

Für Kotangens gilt also:

\( \cot(0°) = \frac{ \cos(0°) }{ \sin(0°) } = \frac{1}{0} = \text{nicht definiert} \)

\( \cot(90°) = \frac{ \cos(90°) }{ \sin(90°) } = \frac{0}{1} = 0 \)

\( \cot(180°) = \frac{ \cos(180°) }{ \sin(180°) } = \frac{-1}{0} = \text{nicht definiert} \)