Kotangens als Funktionsgraph

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Der blaue Kotangesgraph ergibt sich, indem wir 1 durch jeden Tangenswert rechnen. Im Gegensatz zum Kosekans und Sekans kann der Graph der Kotangensfunktion alle beliebigen Werte annehmen. Er hat aber auch Definitionslücken, wo Tangens 0 ist. Also zum Beispiel bei 0° oder bei 180°. Die Periode von 0° bis 180°, dann von 180° bis 360° etc.

~plot~ cot(x) ~plot~

Auch diesen Graphen können wir strecken, stauchen, nach rechts und links verschieben und nach oben und unten verschieben. Beispiel:

~plot~ 2*cot(0.25x-pi)+1;[[15]] ~plot~

Beispielaufgabe: Schnittpunkt von Tangensfunktion mit Kotangensfunktion

Die Aufgabe soll lauten: Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen:

f(x) = cot(x - 30°)

k(x) = tan(x - 30°)

im Intervall Intervall 0° bis 90°.

Um einen Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir grundsätzlich die beiden Gleichungen gleichsetzen.

f(x) = k(x)

cot(x - 30°) = tan(x - 30°)

Nun machen wir es uns einfacher, indem wir cot in tan umwandeln:

1/ tan(x - 30°) = tan(x - 30°)

Dann können wir umformen:

1/ tan(x - 30°) = tan(x - 30°) | · tan(x - 30°)

1 = tan(x - 30°) · tan(x - 30°)

1 = tan2(x - 30°) | ±Wurzel

±√(1) = √(tan2(x - 30°))

±1 = tan(x - 30°)

Berechnen wir den Wert mit dem Arkustangens:

±1 = tan(x - 30°) | tan-1()

tan-1(±1) = tan-1(tan(x - 30°))

±45° = x - 30°

x1 = 75° und x2 = -15°

Lösung x2 ist nicht im Intervall 0° bis 90° und wird ignoriert. Wir haben nur die Lösung: x1 = 75°

Probe:

f(x) = cot(x - 30°) → f(75°) = cot(75° - 30°) = cot(45°) = 1

k(x) = tan(x - 30°) → tan(75° - 30°) = tan(45°) = 1

Bei haben den gemeinsamen Punkt (75° | 1) und schneiden sich dadurch.

Hier die Graphen:

~plot~ tan(x-30/180*pi);cot(x-30/180*pi);x=75/180*pi ~plot~

Unsere Lösung ist korrekt.

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