Sekans am Einheitskreis
Kosekans (also die Kehrwertfunktion von Sinus) können wir auch direkt am Einheitskreis ablesen. Die Länge der lila Linie gibt den Wert für Kosekans an:
sin(30°) = 0,5
csc(30°) = 1/0,5 = 2
Kosekans lässt sich an dieser Strecke ablesen, weil sich mit ihr ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt ergibt:
Die Gegenkathete bzw. Höhe ist immer 1, siehe gestrichelte Linie bei y = 1, egal welchen Winkel wir einstellen (zwischen 0° und 180°).
Das heißt bei:
sin(α) = GK⁄HY
können wir GK = 1 einsetzen und erhalten:
sin(α) = 1/HY
HY = 1/sin(α)
Und wir wissen, dass 1/sin(α) die Kehrwertfunktion von Sinus ist, also Kosekans. Daher entspricht die Länge der Hypotenuse dem Wert für Kosekans: HY = 1/sin(α) = csc(x)
Am Einheitskreis erkennt man auch, dass die Werte nicht zwischen -1 und 1 liegen können, da die Hypotenuse nie kürzer als die Gegenkathete sein kann.
Aufzupassen ist bei 0°, denn csc(0°) = 1/sin(0°) = 1/0 = nicht definiert.
Gleiches bei 180°, denn csc(180°) = 1/sin(180°) = 1/0 = nicht definiert.
Zu merken ist außerdem: csc(90°) = 1/sin(90°) = 1/1 = 1
Wenn wir Winkel zwischen 180° und 360° haben, dann ergeben sich negative Werte für Kosekans. Beispiele:
csc(230°) = 1/sin(230°) = -1,3054…
csc(270°) = 1/sin(270°) = 1/-1 = -1
csc(320°) = 1/sin(320°) = -1,5557…
csc(360°) = 1/sin(360°) = 1/0 = nicht definiert