Mathe F05: Lineare Gleichungssysteme

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Laut Lehrplan: 9. Klasse

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Eine Abkürzung, auf die man im Mathematik-Unterricht oft stößt, ist "LGS". LGS steht für Lineares Gleichungs-System. Damit ist allgemein das Lösen von linearen Gleichungen gemeint, die in Verbindung gebracht werden und dadurch im Normalfall nur eine Lösung für x und y haben.

Im Video Teil 1 zeigen wir euch in Kürze wie man ein Lineares Gleichungssystem löst, das aus zwei Gleichungen besteht. Wir schauen uns dazu drei Verfahren an: Gleichsetzungsverfahren | Einsetzungsverfahren | Additionsverfahren. In den Videos 2 bis 5 wird das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Funktionen veranschaulicht. Hier ist es notwendig, dass ihr die Lektion Schnittpunkt von zwei linearen Graphen gesehen und verstanden habt. In Video 6 lösen wir schließlich eine anspruchsvolle Textaufgabe.

F05-1 Lineare Gleichungssysteme - Die drei Lösungsverfahren

Die 3 Lösungsverfahren in Kürze erklärt: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren

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F05-2 Lineare Gleichungssysteme - Einsetzung und Gleichsetzung

Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren im Detail, Schnittpunkt von Graphen, Lineare Gleichungssysteme (LGS) mittels Funktionen dargestellt

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Wissen zur Lektion

Einführung

Oberstes Ziel beim Lösen von LGS ist stets: Beseitige eine der beiden Unbekannten. Nutze dazu eines der Verfahren:

1. Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen sind so umzustellen, dass y jeweils auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht:

I. y = (...)
II. y = (...)

Anschließend darf man die y gleichsetzen und die beiden Terme (...) jeweils für y einsetzen:

y = y
(...) = (...)

Die entstehende Gleichung enthält dann nur noch die Unbekannten x und lässt sich, wie wir bereits gelernt haben, lösen.

2. Einsetzungsverfahren

Es ähnelt dem Gleichsetzungsverfahren, man stellt jedoch nur eine Gleichung nach y um (die zweite Gleichung lässt man unverändert):

I. y = (...)
II. y + (...) = (...)

Dann darf man den Term der Gleichung I, also y = (...) in die II. Gleichung einsetzen. Man ersetzt also y von Gleichung II mit y = (...) von Gleichung I.

II. y + (...) = (...)
II'. (...) + (...) = (...)

Schließlich enthält die neu entstehende Gleichung keine y mehr, sondern nur noch Unbekannte x und lässt sich lösen.

* Anstatt nach y kann man stets auch nach x umstellen. Das funktioniert entsprechend. Im letzten Schritt bleiben dann nur Terme mit y übrig.

3. Additionsverfahren

Das Additionsverfahren wird auch Subtraktionsverfahren genannt.

Hier addiert man beide Gleichungen miteinander und beseitigt dadurch eine der beiden Variablen x oder y. Wenn sich durch die Addition keine Variable zu Null wegaddieren sollte, so muss man die Gleichung vorher umformen (mit einer entsprechenden Multiplikation ihrer Elemente).

Wer sich fragt, weshalb man die Gleichungen untereinander zusammenaddieren darf, soll sich einmal das LGS ohne Unbekannte vorstellen, zum Beispiel:

LGS ohne Unbekannte

Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme

A: Genau eine Lösung

Für x und für y erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das Lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.

L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

B: Keine Lösung

Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4

L = { } keine Lösung → leere Menge

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

C: Unendlich viele Lösungen

Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ihr setzt also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhaltet dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y. Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen werdet ihr auf eine sogenannte Identität stoßen, zum Beispiel: 2 = 2

Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung }

Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }

Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen.

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.

Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen/Schnittpunkten hatten wir schon in der Lektion F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens.

Hinweis: LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt ;)

Mathe-Programme

Zu den Linearen Gleichungssystemen haben wir einen hilfreichen Online-Rechner entwickelt, mit dem ihr eure Lösungen in Windeseile überprüfen könnt. Er ist hier aufzurufen: Lineare Gleichungssysteme online lösen

LGS Löser
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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Gleichsetzungsverfahren
Löse unter Verwendung des Gleichsetzungsverfahrens.

1. Aufgabe
y = 3·x + 6
y = 4·x + 8

2. Aufgabe
y = 1,5·x - 20
y + x = 5

3. Aufgabe
5·x + y = 1
5·x - 2·y = 13

4. Aufgabe
6·x = -18·y
2·x = -5·y + 4

5. Aufgabe
3·y = 2·x - 7
3·y = x - 3

B: Einsetzungsverfahren
Löse unter Verwendung des Einsetzungsverfahrens.

1. Aufgabe
6·x + 2·y = 6
y = -0,5·x - 0,5

2. Aufgabe
7·x - 2·y = 4
3·x + y = 11

3. Aufgabe
2·x + 3·y = 6
2·x + y = -4

4. Aufgabe
5·x + 6·y = 15
x + 2·y = 5

5. Aufgabe
9·x - y = 41
3·x - 11 = y

C: Additionsverfahren
Löse unter Verwendung des Additionsverfahrens.

1. Aufgabe
15·x - 2·y = 44
10·x - 3·y = 16

2. Aufgabe
8·x - 3·y = 100
7·x + 4·y = 167

3. Aufgabe
4·x + 3·y = 5
-4·x - 5·y = -11

4. Aufgabe
3·x - 13·y = -2
2·x + 6·y = 160

5. Aufgabe
7·x + y = 10
-3·x - y = -6

D: Drei Unbekannte

1. Aufgabe
3·x - 2·y + 5·z = 13
-x + 3·y + 4·z = -1
5·x + 6·y - z = 3

2. Aufgabe
6·x + 4·y - z = 0
- 7·x - 8·y - 3·z = 5
4·x - 2·y + z = 22

3. Aufgabe
2·x + 3·y + 4·z = 20
3·x + 2·y + 5·z = 22
4·x + 5·y + z = 17

E: Textaufgaben
1. Gesucht ist eine zweistellige Zahl. Vertauscht man ihre Ziffern, so erhält man eine um 9 größere Zahl. Die Quersumme der gesuchten Zahl ist 15.
2. Herr Müller und sein Enkel Maier sind zusammen 100 Jahre alt. Vor 10 Jahren war Herr Müller genau dreimal so alt wie sein Enkel. Wie alt sind die beiden heute?
3. In einem Stall befinden sich 27 Tiere, darunter Hasen und Hennen. Insgesamt haben die Tiere 72 Füße. Wie viele Hasen und Hennen sind es jeweils?
4. Die Summe aus 3 Zahlen ist 180. Subtrahiert man die Hälfte der zweiten Zahl vom Doppelten der ersten Zahl und addiert dann die dritte Zahl, erhält man 2. Addiert man jedoch die Hälfte der zweiten Zahl zur ersten Zahl, erhält man 80.
5. Auf einem Fest kauft Familie Müller 2 Portionen Pommes, 2 Würstchen und 4 Waffeln. Sie bezahlen 14,60€. Familie Schulze kauft sich 2 Pommes, 4 Würstchen und 1 Waffeln. Sie bezahlen 13,60€, Für 13,50€ bekommt Familie Langhorn 1 Portion Pommes, 3 Würstchen und 3 Waffeln. Wie viel kosten eine Portion Pommes, ein Würstchen und eine Waffel?
6. Ein Hotel hat insgesamt 20 Zimmer mit 64 Betten. Je Zimmer gibt es entweder 2 oder 4 Betten. Wie viele 2- und wie viele 4-Bettzimmer gibt es?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Tags: LGS
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