Mathe G32: Binärzahlen und Dezimalzahlen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

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Damit ihr mit Binärzahlen umgehen könnt, müsst ihr euch mit den Potenzen ein wenig auskennen, denn diese benutzen wir, um eine Binärzahl "lesbar" zu machen, also in eine uns verständliche Zahl (eine Dezimalzahl) umzuwandeln. Alle notwendigen Details findet ihr im Video. Viel Spaß beim Anschauen. Im ersten Video schauen wir uns die Umrechnung der Binärzahl 1001 zur Dezimalzahl 9 an: 10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910 und es gibt einen Tipp, wie ihr Binärzahlen ohne langes Rechnen sehr schnell umwandeln könnt.

Mathe-Video G32-1 Einführung der Binärzahlen mit Hilfe der Dezimalzahlen

Was ist eine Binärzahl, was ist eine Dezimalzahl. Begriffe Binärsystem, Dualsystem, Zweiersystem. Zerlegen einer Dezimalzahl in Zehnerpotenzen, Stellenwertsystem erklärt, Zweierpotenzen beim Binärsystem. Beispiel einer Umrechnung von Binär- zu Dezimalzahl.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G32-2 Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

    Umwandeln der Dezimalzahl 178 in die Binärzahl 10110010. Zerlegung der Dezimalzahl in eine Summe von Zweierpotenzen, Rechenweg erklärt. Alternative Rechenmethode über das Divisionsverfahren (Restverfahren).

  • G32-3 Binärzahlen addieren und subtrahieren

    Addition von Binärzahlen wie bei den Dezimalzahlen, einzelnen Stellen addieren mit Übertrag. Andere Rechenmethode bei Subtraktion: Wir splitten den Minuenden solange auf, bis der Subtrahend ziffernweise von ihm abgezogen werden kann. Nach dem Abzug addieren wir alle Stellen zusammen.

  • G32-4 Binärzahlen multiplizieren und dividieren

    Schriftliche Multiplizieren von Binärzahlen wie bei Dezimalzahlen, wir multiplizieren die einzelnen Stellen mit dem ersten Faktor. Anschließend addieren wir alle Ziffern stellenweise zusammen. Die Division wird gleichfalls schrittweise wie bei den Dezimalzahlen ausgeführt.

  • G32-5 Von der Binärzahl zur Dezimalzahl mittels Horner-Schema

    Das Horner-Schema zerlegt Potenzen sinnvoll in Multiplikationen. Wiederholte Anwendung des Schemas in der Reihenfolge: mal 2, plus nächste Ziffer, Klammern herum. So erhalten wir den Dezimalwert der Binärzahl.

  • G32-6 Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen

    Umwandeln von Dezimalzahlen in Oktalzahlen und in Hexadezimalzahlen. Erklärung der einzelnen Schritte über die Summen von Potenzen. Zusätzlich die Umrechnung von Oktal- und Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen.

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Wissen zur Lektion

Informationen über Zahlensysteme

Das jedem bekannte, weltweit am meisten benutzte Zahlensystem ist das Dezimalsystem, es nutzt die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Also 10 Ziffern. Zehn auf Lateinisch heißt "decimus" (der zehnte), daher wird der Begriff "Dezimalsystem" statt "Zehnersystem" verwendet. Der Wert einer Ziffer hängt bei Zahlensystemen nicht nur von ihrem eigenen Wert ab, sondern auch von ihrer Position in einer Zahl. Zur Erinnerung: Eine Zahl wie 345 besteht aus den Ziffern 3, 4 und 5. Die 5 steht an erster Stelle (Einerstelle), ihr Wert ist 5·1=5. Die 4 steht an zweiter Stelle (Zehnerstelle), ihr Wert ist 4·10=40. Die 3 steht an dritter Stelle, ihr Wert ist 3·100=300. So ergibt sich für die Zahl "345" also: 345 = 3·100 + 4·10 + 5·1. Jede Stelle vermittelt also insgeheim eine Zehnerpotenz: 345 = 3·102 + 4·101 + 5·100.

Andere Zahlensysteme nutzen andere Stellensysteme, jedoch sind die Stellen dann nicht mit Zehnerpotenzen zu multiplizieren, sondern mit den Potenzen, die für dieses Zahlensystem gelt. Zum Beispiel sind beim Binärsystem (Dualsystem) 2 Ziffern verfügbar, die Potenz ist demnach 2n. Beispiel: 1001 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 9

Die bekanntesten Zahlensysteme sind 1. Dezimalsystem, 2. Binärsystem (berühmt durch die Anwendung bei Computern) und 3. Hexadezimalsystem (z. B. Farbwerte bei Bildbearbeitungsprogrammen, rot ist #FF0000, grün ist #00FF00 und blau ist #0000FF).

Anwendung von Binärzahlen beim Computer: Jede Speicherung von Daten erfolgt technisch als 011010100101... Das heißt, jeglicher Datensatz (Text, Bilder, Audio, Video) wird heruntergebrochen in eine meist lange Reihe von Einsen und Nullen, AN (1) und AUS (0). Deren Zusammensetzung und die Interpretation durch ein Programm entscheiden darüber, was der Strom von 011010100101... schließlich sein soll. Der Buchstabe "a" ist zum Beispiel die Binärfolge "01100001". Es sind 8 Zeichen, man sagt 8 Bits. Zusammengefasst nennt man 8 Bits einen Byte. 1 Byte ist also 1 Zeichen (im ASCII-Zeichensatz).

Schreibweise: Um kenntlich zu machen, welches Zahlensystem verwendet werden soll, schreibt man einen tiefgestellten Index an die Zahl. Beispiel: 1001012. Die 2 zeigt an, dass es sich um das Binärsystem handelt. Ein weiteres Beispiel: 45710. Die 10 zeigt an, dass es sich um das Dezimalsystem handelt.

Grundrechenarten im Dualsystem

Bei der Rechnung im Dualsystem gibt es keinen allzu großen Unterschied bezüglich der Rechnung im Dezimalsystem. Man muss allerdings aufpassen, dass beispielsweise der Übertrag an anderer Stelle zu setzen ist. So ist bei der Addition im Dezimalsystem 9+1 = 10, wobei die 1 aus einem Übertrag zustande kommt, im Binärsystem hingegen haben wir 1+1 = 10. Im Folgenden seien ein paar Beispielrechnungen für die vier Grundrechenarten vorgeführt. Da diese Rechnungen alle im Binärsystem getätigt werden, wird auf die tiefgestellte Bezeichnung weitestgehend verzichtet.

Addition von Binärzahlen

Bei der Addition gibt es folgende vier Möglichkeiten bei der Addition zweier Ziffern.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Hat man also folgende Addition durchzuführen: 1001 + 1111, so kann die Addition wie gewohnt mit der Übereinanderschreibweise durchgeführt werden, aber unter Berücksichtigung der obigen Regeln.

1

0

0

1

+

1

1

1

1

Übertrag

1

1

1

1

Summe

1

1

0

0

0

Das Ergebnis hier wäre also 11000. Dabei wurde bei der Addition von 1 + 1 genau wie oben dargestellt ein Übertrag vorgenommen. Dann ergibt sich für die Addition der zweiten Ziffern wieder selbiges -> 0 + 1 + 1 = 10 es ist also wiederum ein Übertrag erforderlich. Und so geht es direkt weiter.

Überprüfen wir doch das ganze mal, in dem wir das Dezimal rechnen.

10012 + 11112 = 110002

Einzeln umgerechnet

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

11112 = 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 = 1510

110002 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 2410

Wir haben also nichts anderes als:

910 + 1510 = 2410

Das stimmt offensichtlich, wie auch unsere obige Rechnung im Binärsystem.

Subtraktion von Binärzahlen

Bei der Subtraktion gibt es wieder vier Möglichkeiten:

0 - 0 = 0

0 - 1 = -1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

Wobei der Fall 0 - 1 = -1 durch einen Übertrag korrigiert wird, so dass wir „0 - 1 = 1 und einen Übertrag haben“. Gehen wir dies direkt mit einem Beispiel an. Wir wollen 1100 - 1001 errechnen. Basteln wir uns dazu wieder eine Tabelle.

1

1

0

0

1

0

0

1

Übertrag

1

1

Differenz

0

0

1

1

Überprüfen wir das doch wieder mit dem Dezimalsystem.

11002 - 10012 = 112

11002 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 0·20 = 1210

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

112 = 1·21 + 1·20 = 310

Das ist also 1210 - 910 = 310 was wiederum passt.

Anmerkung: Wie im Dezimalsystem funktioniert dieses Verfahren nur, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend (Subtrahend ist die abzuziehende Zahl).

Multiplikation von Binärzahlen

Für die Multiplikation gilt:

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

1 · 0 = 0

1 · 1 = 1

Im Weiteren geht man genau vor, wie man es vom Dezimalsystem gewohnt ist. Machen wir das mit dem Beispiel 1111 · 1001.

1

1

0

1

·

1

0

0

1

1

1

0

1

+

0

0

0

0

+

0

0

0

0

+

1

1

0

1

Übertrag

1

Produkt

1

1

1

0

1

0

1

Und es folgt wieder die Überprüfung mit dem Dezimalsystem:

11012 · 10012 = 11101012

11012 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1310

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

11101012 = 1·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 117 10

Es ist also:

1310 · 910 = 11710

Und damit genau das, was wir im Dualsystem ausgerechnet haben.

Division von Binärzahlen

Die Division durch 0 ist wie im Dezimalsystem nicht definiert. Somit bleiben zwei Möglichkeiten:

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

Gehen wir das ganze wieder im Beispiel an. Orientieren wir uns dabei wieder am Dezimalsystem:

1

0

0

0

0

1

0

:

1

1

=

0

1

0

1

1

0

-

0

0

1

0

0

-

1

1

1

0

-

0

0

1

0

0

-

1

1

1

1

-

1

1

0

0

-

0

0

0

Es wurde farblich markiert, wann wie dividiert wurde. So erkennt man im ersten Schritt, dass die 11 nur 0 mal in die 10 reinpasst, weswegen wir eine 0 schreiben und mit 00 subtrahieren. Dann erhalten wir im nächsten Schritt eine zusätzliche 0. Man überlegt sich nun wieder, wie oft die 11 in 100 reinpasst. Das ist genau 1 mal der Fall (Achtung, binär denken!). Wir ziehen also 11 ab und führen das ganze wie oben vorgeführt fort.

Wir überprüfen das natürlich wieder mit dem Dezimalsystem:

10000102 = 6610

112 = 310

101102 = 2210

Wir haben also 6610 : 310 = 2210 was wiederum passt.

Oktal- und Hexadezimalsystem

Nachdem nun das Binärsystem und die Grundrechenarten vorgestellt wurden, soll auch noch auf das Oktal- und das Hexadezimalsystem verwiesen werden. Beide Systeme finden wiederum in der Computertechnik breite Anwendung. Das Oktalsystem ist dabei auch als „Achtersystem“ bekannt, da „octo“ aus dem Lateinischen kommt und „acht“ bedeutet. Das sieht so aus:

Oktalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

21

22

Dezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Man beachte, dass im Oktalsystem die Ziffern 0-7 angenommen werden können. Man hat folglich acht unterschiedliche Ziffern. Für eine Umrechnung vom Oktalsystem in das Dezimalsystem geht man dann wie gewohnt vor. Die Ziffer ganz rechts wird mit 80 multipliziert, die vorletzte Ziffer wird mit 81 multipliziert und so weiter.

Beispiel: 218 = 2·81 + 1·80 = 16 + 1 = 1710

was mit unserer Tabelle übereinstimmt.

Wir hatten ja gerade erwähnt, dass das Oktalsystem aus acht Ziffern besteht. Beim Binärsystem hatten wir es mit zwei Ziffern zu tun und wie allseits bekannt haben wir im Dezimalsystem zehn Ziffern zur Verfügung. Das Hexadezimalsystem (von griechisch hexa „sechs“ und lateinisch decem „zehn“) hat, wie der Name verrät, sechzehn Ziffern. Während wir mit dem Oktal- und Binärsystem keine Probleme hatten und auf bekannte Ziffern zurückgreifen konnten, müssen wir beim Hexadezimalsystem neue Ziffern wählen. Hierbei nimmt man sich das Alphabet zu Hilfe. Die Ziffern 10, 11, 12, 13, 14 und 15 werden so durch A, B, C, D, E und F dargestellt um Verwirrungen zu vermeiden und jeder Stelle genau eine Ziffer zuordnen zu können. Die obige Tabelle für das Hexadezimalsystem sieht so aus:

Hexadezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

Dezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

So hätte die Dezimalzahl 4210 die Gestalt 2A16. Gerechnet wird wie in allen System. Man überlegt sich wie oft die 16 in die 42 hineinpasst. Das ist genau zweimal der Fall. So ist die vorletzte Ziffer zu 2 (denn 2·161) bestimmt. Mit 42 - 2·16 = 10 müssen wir die letzte Ziffer als 10 wählen. Die 10 ist aber keine geltende Ziffer, sondern wird als A ausgedrückt. Schon haben wir 2A16.

Auch andersrum sollte die Umrechnung kein Problem darstellen:

A5B16 = A·162 + 5·161 + B·160 = 10·162 + 5·16 + 11 = 2560 + 80 + 11 = 265110

Mathe-Programme

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr ein Matheprogramm (Zahlenkonverter), das Binärzahlen, Dezimalzahlen, Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen ineinander überführt. Dort auf der rechten Seite findet ihr zusätzlich einen kleinen "Zahlenrechner". Hinter ihm verbirgen sich: Binärrechner, Dezimalrechner, Hexadezimalrechner und Oktalrechner für zwei ganze positive Zahlen.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Binärzahlen und Dezimalzahlen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt:

A: Wandle vom Binärsystem ins Dezimalsystem um.

a) 1001010112

b) 11111012

c) 11100002

d) 1010101012

e) 101011102

B: Wandle vom Dezimalsystem ins Binärsystem um.

a) 1510

b) 2710

c) 12710

d) 15710

e) 17310

C: Löse die Rechnung im Binärsystem. Kontrolliere die Rechnung im Dezimalsystem (Addition, Subtraktion).

a) 10002 + 11012

b) 10102 + 111002

c) 1100112 + 100102 + 112

d) 100012 - 10102

e) 101112 - 100002

f) 101002 - 11012

D: Löse die Rechnung im Binärsystem. Kontrolliere die Rechnung im Dezimalsystem (Multiplikation, Division).

a) 11112 · 1012

b) 10102 · 112

c) 1101012 · 10012

d) 100002 : 1002

e) 101112 : 101112

f) 1000000112 : 1112

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen

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