Binärzahlen

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Bei den bekannten Dezimalzahlen nutzen wir zehn Ziffern, und zwar \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). Diese Ziffern setzen wir zusammen und bilden entsprechende Dezimalzahlen, wie zum Beispiel \( 115, 981, 2578 \).

Bei den Binärzahlen (auch „Zweierzahlen“ genannt) nutzen wir nur zwei Ziffern, und zwar \( 0, 1 \). Diese setzen wir zusammen und bilden entsprechende Binärzahlen, wie zum Beispiel \( 101, 11011, 100101 \).

Das Wort „binär“ kommt vom lateinischen „bini“ und bedeutet „zwei“.

Binärzahlen abzählen

Um Binärzahlen von \( 0 \) beginnend aufwärts zu zählen, müssen wir uns überlegen, was nach der \( 0 \) und \( 1 \) folgt. Eine \( 2 \) kann es nicht sein, denn \( 2 \) ist keine Binärzahl. Das heißt, wir haben einen Übertrag auf die nächste Stelle (links).

\( 0 \xrightarrow[]{\text{+1}} 1 \xrightarrow[]{\text{+1}} 10 \)

Als nächstes fragt sich, was nach der Binärzahl \( 10 \) kommt. Wir fügen wieder eine \( 1 \) hinzu:

\( 10 \xrightarrow[]{\text{+1}} 11 \)

Die folgende Zahl erfordert wieder einen Übertrag:

\( 11 \xrightarrow[]{\text{+1}} 100 \)

Zählen wir die ersten 16 Binärzahlen ab. Diese sind:

\( 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 \)

Das mag auf den ersten Blick merkwürdig aussehen, aber dahinter stecken die Dezimalzahlen:

\( 0 \, \color{#00F}{(0)}, 1 \, \color{#00F}{(1)}, 10 \, \color{#00F}{(2)}, 11 \, \color{#00F}{(3)}, 100 \, \color{#00F}{(4)}, 101 \, \color{#00F}{(5)}, 110 \, \color{#00F}{(6)}, 111 \, \color{#00F}{(7)}, 1000 \, \color{#00F}{(8)}, 1001 \, \color{#00F}{(9)}, 1010 \, \color{#00F}{(10)}, 1011 \, \color{#00F}{(11)}, 1100 \, \color{#00F}{(12)}, 1101 \, \color{#00F}{(13)}, 1110 \, \color{#00F}{(14)}, 1111 \, \color{#00F}{(15)} \)

Hier lässt sich erkennen, dass gerade Zahlen als Binärzahl immer auf „0“ enden und ungerade Zahlen immer auf „1“ enden.

Dezimalwert einer Binärzahl (Rechner)

Hier kannst du die Stellen einer Binärzahl mit Klick auf 0 bzw. 1 einstellen, der Wert der Binärzahl wird angezeigt:

168421
00001
168421

Stellenwerte

Bei den Binärzahlen ist der Stellenwert jeder Ziffer 2-mal so hoch wie der der nächsten Ziffer rechts. Bei den Dezimalzahlen ist es 10-mal so hoch.

binärzahlen stellenwertsystem

Berechnung von Binärzahlen

Die folgende Tabelle zeigt die Binärzahlen von 1 bis 31. Daran ist gut zu sehen, wie sich der Wert einer Binärzahl herleiten lässt.

Dezimalzahl Binärzahl Berechnung
1 00001 0+0+0+0+1
2 00010 0+0+0+2+0
3 00011 0+0+0+2+1
4 00100 0+0+4+0+0
5 00101 0+0+4+0+1
6 00110 0+0+4+2+0
7 00111 0+0+4+2+1
8 01000 0+8+0+0+0
9 01001 0+8+0+0+1
10 01010 0+8+0+2+0
11 01011 0+8+0+2+1
12 01100 0+8+4+0+0
13 01101 0+8+4+0+1
14 01110 0+8+4+2+0
15 01111 0+8+4+2+1
16 10000 16+0+0+0+0
17 10001 16+0+0+0+1
18 10010 16+0+0+2+0
19 10011 16+0+0+2+1
20 10100 16+0+4+0+0
21 10101 16+0+4+0+1
22 10110 16+0+4+2+0
23 10111 16+0+4+2+1
24 11000 16+8+0+0+0
25 11001 16+8+0+0+1
26 11010 16+8+0+2+0
27 11011 16+8+0+2+1
28 11100 16+8+4+0+0
29 11101 16+8+4+0+1
30 11110 16+8+4+2+0
31 11111 16+8+4+2+1

Als Beispiel die Umwandlung der Binärzahl „10110011“ zu einer Dezimalzahl:

1·128 + 0·64 + 1·32 + 1·16 + 0·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1

= 179 (Dezimalzahl)

Notation von Binärzahl und Dezimalzahl

Um kenntlich zu machen, welches Zahlensystem verwendet werden soll, schreibt man einen tiefgestellten Index an die Zahl.

Beispiel Binärzahl: 1001012. Die „2“ zeigt an, dass es sich um eine Binärzahl handelt.

Beispiel Dezimalzahl: 45710. Die „10“ zeigt an, dass es sich um eine Dezimalzahl handelt.

Zur Geschichte der Binärzahlen

Binärzahlen waren schon lange bekannt, doch die modernen Binärzahlen gehen auf den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) zurück. Er entwickelte das heutzutage verwendete binäre Zahlensystem. Leibniz war einer der ersten, die erkannten, dass sich jede Berechnung mit Binärzahlen durchführen lässt und baute eine der ersten Rechenmaschinen.

Abbildung 1 leibniz notiz binärsystem 1697
Abbildung 1: Aus einem Brief von Leibniz an Herzog Wolfenbüttel zum Binärsystem (1697)

Die Funktionsweise aller heutigen Computer greift auf Binärzahlen zurück, da es elektrotechnisch gesehen nur An- und Aus-Zustände (Aus=0 und An=1) gibt (siehe Anwendung von Binärzahlen beim Computer).

Binärzahl-Tabelle

Die folgende Tabelle gibt noch mal einen besseren Überblick über den Zusammenhang von Dezimalzahlen und Binärzahlen.

Stellenwert
32 16 8 4 2 1
0 0
1 1
2 1 0
3 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
16 1 0 0 0 0
32 1 0 0 0 0 0
63 1 1 1 1 1 1
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