Mathe G07: Binomische Formeln

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 9. Klasse

Mathe-Videos

Heute schauen wir uns an, wie die Binomischen Formeln entstehen. Dazu verwenden wir insbesondere das Distributivgesetz. Auf dieser Seite findet ihr auch die Mathe-Programme zu den Binomischen Formeln, die wir im Video benutzen. In diesen Videos werden alle drei binomischen Formeln ausführlich und verständlich hergeleitet, damit ihr besser Mathe lernen und eine bessere Note schreiben könnt. Los geht es:

G07-1 Binomische Formeln - Voraussetzungen

(Erweitertes) Distributivgesetz, Berechnung der Fläche von Rechteck und Quadrat, Zahl ins Quadrat (a·a = a²), 2·ab = ab + ab, Zerlegen einer Strecke in Teilstrecken.

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Wissen zur Lektion

Die 3 Binomischen Formeln in der Übersicht

Es gibt drei binomische Formeln, die ihr wirklich auswendig können müsst, da ihr sie oft in der Schule benötigt.

1. Binomische Formel
(a + b)·(a + b) = a2 + 2·a·b + b2

2. Binomische Formel
(ab)·(ab) = a2 − 2·a·b + b2

3. Binomische Formel
(a + b)·(ab) = a2b2

Die Bestandteile des Begriffes: binom = bi (zwei) und nomen (Teil, Name).

Vorausetzungen für das Verstehen der Binomischen Formeln

Fassen wir zunächst einmal zusammen, was wir benötigen, um den nachfolgenden Block zu verstehen:

1. Distributivgesetz

Das Distributivgesetz besagt Folgendes:

a · (b + c) = a·b + a·c

Wir schauen uns noch ein Anwendungsbeispiel an, und setzen a = 3 , b = 4 und c = 5 :

3 · (4 + 5) = 3·4 + 3·5

Ersetzen wir die 3, indem wir (2 + 1) schreiben, so erhalten wir:

(2 + 1) · (4 + 5) = (2 + 1)·4 + (2 + 1)·5

Jetzt können wir wieder das Distributivgesetz anwenden:

(2 + 1) · (4 + 5) = (2 + 1)·4 + (2 + 1)·5 = 2·4 + 1·4 + 2·5 + 1·5

Merken wir uns, dass jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten Klammer multipliziert wird und man den Term anschließend addiert.

2. Fläche

Weil wir uns die Binomischen Formeln insbesondere grafisch in Form von Flächen anschauen werden, müssen wir die Flächen auch noch einmal wiederholen:

Möchte man die Fläche eines Rechtecks berechnen mit den Seiten a und b, so multipliziert man diese beiden Seiten einfach miteinander:

Fläche = a·b

Rechteck Fläche

Um das Ganze etwas anschaulicher zu machen, benutzen wir in einem Beispiel richtige Werte:

a = 2 cm b = 4 cm

Dann erhalten wir:

Rechteck Beispiel

Fläche = 2 cm · 4 cm = 8 cm2

Wer noch Schwierigkeiten hat, sich die Rechnung vorzustellen, kann sich das Rechteck auf beiden Seiten in jeweils 1 cm Abschnitten aufteilen. Die Kästchen innerhalb des Rechtecks sind nun jeweils 1 cm2 groß. Zählen wir die Kästchen, so sehen wir, dass wir 2·4 = 8 Kästchen haben. Wir erhalten als Fläche also 8 cm2.

3. Weitere Rechenregeln

Ihr müsst euch weiterhin Folgendes in Erinnerung rufen:

a2 = a·a (Schreibweise als Multiplikation)

a·b + a·b = 2·a·b = 2ab (Schreibweise ohne Malpunkt)

Dann können wir auch schon richtig loslegen:

1. Binomische Formel

Wir erklären die 1. Binomische Formel anhand eines Beispiels:

Nehmen wir uns die Gleichung 3·3 = 32 . Schreiben wir anstatt von 3 einfach (2 + 1) so erhalten wir:

3·3 = (2 + 1)·(2 + 1) = (2 + 1)2

Diese Multiplikation wollen wir nun berechnen. Wir wissen, dass wir jeden Wert aus der ersten Klammer mit jedem Wert aus der zweiten Klammern multiplizieren müssen. Das machen wir jetzt einmal:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2· (2 + 1) + 1· (2 + 1)

= 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1

Wir schreiben jetzt 2·2 als 22 und 1·1 als 12. Außerdem wenden wir das Kommutativgesetz auf die beiden Summanden in der Mitte an, denn es gilt: a·b = b·a und damit für unser Beispiel 2·1 = 1·2

Wir können die Faktoren nun vertauschen und haben 2 mal das gleiche Produkt mit 2·1 dort zu stehen:

2·1 + 1·2 = 2·1 + 2·1 = 2·(2·1)

Wir erhalten zusammengefasst:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1 = 22 + 2·(2·1) + 12

Grafische Herleitung der 1. Binomischen Formel

Für ein besseres Verständnis stellen wir dies nun grafisch dar. Wir starten mit der Anfangsgleichung, also 3·3 = 32, was grafisch einem Quadrat mit der Seitenlänge 3 entspricht.

Quadrat Fläche

Der Flächeninhalt beträgt 9.

Teilen wir jetzt die Seitenlänge auf in 3 = 2 + 1 so erhalten wir:

Flächen Quadrat Aufteilung

Wir erkennen anhand der Grafik, dass sich unsere Fläche in vier kleinere Flächen aufteilt. Das ist genau das, was wir vorhin bereits berechnet haben. Jetzt können wir erneut so vorgehen. Wir fassen die beiden grünen Flächen zusammen, da sie gleich groß sind. Wir erhalten somit für die Fläche:

Fläche = 22 + 2·(2·1) + 12 = 4 + 4 + 1 = 9. Auch hier beträgt der Flächeninhalt wieder 9. Vergleiche folgende Grafik:

Flächen Quadrat Summe

Betrachten wir unsere Rechnung einmal etwas allgemeiner und ersetzen die 2 mit einem a und die 1 mit einem b dann erhalten wir:

(2 + 1)2 = 22 + 2·(2·1) + 12
(a + b)2 = a2 + 2·(a·b) + b2
Schreiben wir das noch ohne Punkt und Komma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Und damit haben wir unsere 1. Binomische Formel:

(a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2

Hier als Grafik mit der Herleitung:

Flächen Binomische Formeln

Fläche = (2 + 1) · (2 + 1)
Fläche = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1
Diese Formel formen wir weiter um:
Fläche = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1
Fläche = 2·2 + 2·1 + 2·1 + 1·1
Fläche = 2·2 + (2·1) + (2·1) + 1·1
Fläche = 2·2 + 2·(2·1) + 1·1
Fläche = 22 + 2·(2·1) + 12
allgemein:
Fläche = a2 + 2·(a·b) + b2

2. Binomische Formel

Auch hier werden wir ein Beispiel benutzen, um die 2. Binomische Formel zu erklären.

Wir wollen folgende Aufgabe berechnen:

(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1) = ...

Bevor wir das machen, werden wir noch einmal die Rechenregel für die Vorzeichen bei der Multiplikation auffrischen.

Multiplizieren wir eine positive Zahl mit einer anderen positiven Zahl, so ist das Produkt auch positiv: + mal + = +

Multiplizieren wir eine negative Zahl mit einer positiven Zahl, so ist das Produkt negativ: - mal + = - oder + mal - = -

Multiplizieren wir zwei negative Zahlen, so ist das Produkt positiv: - mal - = +

Rechnen wir nun, indem wir, wie bereits bekannt, die Klammern multiplizieren, dabei übernehmen wir das Minus auf die "1" und rechnen mit "(-1)" beim Ausmultiplizieren:

(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1)
= 4· (4 - 1) + (-1)· (4 - 1)
= 4·4 + 4·(-1) + (-1)·4 + (-1)·(-1)
= 42 - 4·1 - 1·4 + 12
= 42 - 2·(4·1) + 12

Machen wir es auch hier ganz allgemein, indem wir die 4 mit einem a und die 1 mit einem b ersetzen:

(4 – 1)2 = 42 – 2·(4·1) + 12

(a – b)2 = a2 – 2·(a·b) + b2

Damit haben wir nun auch unsere 2. Binomische Formel.

(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2

Grafische Herleitung der 2. Binomischen Formel

Auch hier wollen wir die Formel grafisch darstellen. Dazu schreiben wir die Binomische Formel um:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = a2 - ab - ab + b2 = a2 - ab + b2 - ab

Der unterstrichene Teil entspricht einem Quadrat mit der Seitenlänge a.
Quadrat Seitenlänge a

Ziel: Wir wollen also nachweisen, dass die Fläche (a-b)2 genauso groß ist wie die Fläche a2 abzüglich Fläche ab + b2 abzüglich ab. Im Folgenden stellen wir dies grafisch dar, damit das Verständnis leichter fällt.

Zuerst ziehen wir teilen wir die Seite a auf in die Teilstrecken b und (a-b), denn (a-b) + b = a. Bzw. "a - b" ist "a ohne b".

Zweite Binomische Formel - Herleitung 0

Jetzt ergeben sich vier neue Teilflächen, die wir einzeichnen und berechnen können:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 1

Nun müssen wir die Fläche a·b vom großen Quadrat aa2 abziehen (der erste Teil der Formel: a2 - a·b + b2 - ab ):

Zweite Binomische Formel - Herleitung 2

Dann bleiben zwei Restflächen rechts übrig:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 3

Wir wollen unsere Formel weiter grafisch klären, gerade hatten wir a·b abgezogen: ( a2 - a·b + b2 - ab ). Jetzt steht dort, sollen wir ein b2 hinzufügen und dann ein "- ab" abziehen. Mit Blick auf die beiden Restflächen erkennen wir, dass uns das kleine Quadrat (b2) links oben fehlt. Wenn wir dieses dort anfügen, können wir horizontal noch einmal die Fläche a·b abziehen. Also ergänzen wir die Fläche b2 (das ist der markierte Teil in der Formel: a2 - a·b + b2 - a·b). Danach können wir ein zweites Mal die Fläche a·b abziehen (a2 - a·b + b2 - a·b).

Zweite Binomische Formel - Herleitung 4

Dann bleibt schließlich die Fläche (a - b)2 übrig:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 5

Damit hätten wir die 2. Binomische Formel auch grafisch erklärt:

a2 - 2·a·b + b2 = a2 - a·b + b2 - a·b = (a - b)2

bzw. andersherum geschrieben: (a - b)2 = a2 - a·b + b2 - a·b = a2 - 2·a·b + b2

3. Binomische Formel

Wir starten mit dem Beispiel:
(7 + 3)·(7 3) = ...

Wir multiplizieren auch hier nach den selben Regeln wie in den anderen Beispielen und erhalten:

(7 + 3)·(7 - 3)
= 7·(7 - 3) + 3·(7 - 3)
= 7·7 - 7·3 + 3·7 - 3·3
= 7·7 + (- 7·3 + 7·3) - 3·3
= 7·7 + ( 0 ) - 3·3
= 7·7 - 3·3
= 72 - 32

Wir setzen nun zur Verallgemeinerung für die 7 ein a und für die 3 ein b ein:

(7 + 3)·(7 - 3) = 72 + 32
(a + b)·(a - b) = a2 + b2

Bei der grafischen Darstellung versuchen wir erneut aus der Fläche a2 unsere gesuchte Fläche darzustellen. Wir starten mit:

Quadrat Seitenlänge a

Wir teilen die Seiten des Quadrates wieder auf in (a-b) und b:

Dritte Binomische Formel Herleitung 0

In diesem Fall ziehen wir als nächstes das b2 von der Fläche a2 einmal ab (a2 - b2).

Dritte Binomische Formel Herleitung 1

Es bleiben drei Teilflächen übrig:

Dritte Binomische Formel Herleitung 2

Verschieben wir jetzt die Fläche (a-b)·b, die oben liegt nach rechts und drehen sie, so entsteht:

Dritte Binomische Formel Herleitung 3

Betrachten wir uns jetzt die Seitenlänge dieses Rechtecks, so fällt uns auf, dass sich aus b + (a-b) = b + a - b = a ergibt.

Dritte Binomische Formel Herleitung 4

Hier erkennen wir schon die gesuchte Fläche mit (a + b)·(a - b). Damit wäre auch die 3. Binomische Formel grafisch gezeigt.

(a + b) · (a - b) = a2 + b2

Schriftliches Rechnen vereinfachen

Binomische Formeln lassen sich auch dazu benutzen, das schriftliche Rechnen zu vereinfachen. Beispiele:

408² = (400 + 8)²
= 400² + 2·400·8 + 8²
= 160.000 + 6.400 + 64
= 166.464

198·202 = (200-2)·(200+2)
= 200² - 2²
= 40.000 - 4
= 39.996

44² - 26² = (44+26)·(44-26)
= 70·18
= 1.260

Faktorisieren mit Binomischen Formeln

Faktorisieren kommt von "Faktor", den wir bereits bei der Multiplikation kennengelernt hatten. Bei den binomischen Formeln haben wir zwei Faktoren (richtig, das sind die Klammern):

(a + b)² = (a + b) · (a + b)
Produkt = Faktor1 · Faktor2

Wenn wir nun eine ausgerechnete binomische Gleichung vorzuliegen haben und der Lehrer sagt, faktorisiere wieder, dann müsst ihr die Gleichung wieder in die Klammerform bringen. Beispiel:

= x² + 6x + 9
allgemein:
= a² + 2ab + b²

Jetzt sieht man beim direkten Gegenüberstellen:
x² = a²     6x = 2ab     9 = b²

Und kann sich ausrechnen (Wurzel ziehen):
a = x und b = 3

Dann beim Allgemeinen einsetzen und konkrete Werte erhalten:
= a² + 2·a·b + b² → (a + b)²
= x² + 2·x·3 + 3² → (x + 3)²

Probe:
(x + 3)² = (x + 3)·(x + 3) = x·x + 3x + 3x + 3·3 = x² + 6x + 9

Das Faktorisieren wenden wir zum Beispiel bei den Quadratischen Funktionen, speziell bei der Quadratischen Ergänzung an.

Mathe-Programme Binomische Formeln

NEU: Binomische Formeln Rechner in der Formelsammlung 3.0

Mit dem folgenden Programm könnt ihr Binomische Formeln online berechnen:

  • Binomische Formel (1)
    Binomische Formel (1)
    Die 1. Binomische Formel wird hier grafisch veranschaulicht. Die Fläche (a+b)² entspricht der Fläche a²+2*ab+b².
  • Binomische Formel (2)
    Binomische Formel (2)
    Die 2. Binomische Formel grafisch in Form von Flächen dargestellt. (a-b)² = a² - 2*a*b + b². Bitte lest euch die Einleitung durch.
  • Binomische Formel (3)
    Binomische Formel (3)
    Die 3. Binomische Formel (a+b)*(a-b) = a² - b² kann mit diesem Programm entdeckt werden. Bitte die Einleitung durchlesen.
  • Binomische Formeln Rechner
    Binomische Formeln Rechner
    Dieses Programm berechnet euch die erste und zweite Binomische Formel mit Zahlen und Variablen.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

A. Multipliziere erst die Klammern aus, berechne dann das Ergebnis!
1. (1 + 4)·(2 + 2) =
2. (-2 + 8)·(3 + 4) =
3. (-2 + 2 - 3)·(5 - 10) =
4. (9 - 9)·(9 + 9) =
5. (8 + 8)·(8 - 8 - 8) =


B. Löse die folgenden Aufgaben nur mit Hilfe der Binomischen Formeln, danach erst zusammenrechnen!
1. (4 + 3)² =
2. (-4 + 5)² =
3. (10 + 9)² =
4. (5 - 12)² =
5. (6 - 8)² =
6. (12 + 2)·(12 - 2) =
7. (200 - 4)·(200 + 4) =
8. (100 - 10)·(100 + 10)·(100 + 10) =


C. Nehmen wir als nächstes anstatt Zahlen ein paar Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit den Binomischen Formeln so weit wie möglich:

Beispiellösung:
(x - 8)² = x² - 2·x·8 - 8² = x² - 16·x - 64
(a - b)² = a² - 2·a·b - b²siehe auch Video Teil 3!

1. (x + 7)² =
2. (10 - x)² =
3. (4·x - y)² =
4. (x + 10·y)² =
5. (2 - a·b)² =
6. (2·x + a·b)² =
7. (a·2 - a·b)² =
8. (x + 3)·(x - 3) =
9. (x + y)·(x - y) =
10. (2·a + 3·b)·(2·a - 3·b) =


D. Faktorisiere (das heißt, Du musst die ursprüngliche Form der Binomischen Formel wieder herstellen):

Beispiellösung:
x² + 6x + 9 = x² + 2·3·x + 3² = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²siehe auch Video Teil 4!

1. 25 - 40 + 16 =
2. x² + 6·x·y + 9·y² =
3. 100 - 20·x + x² =
4. 400 - 100·x² =
5. x² - 18·x + 81 =


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Binomische Formeln, Binom, Distributivgesetz, Faktorisieren

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