TRI12: Kehrwertfunktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir schon 11 Lektionen zur Trigonometrie hinter uns gebracht haben, können wir unseren Wissenspool mit der Lektion zu den Kehrwertfunktionen abrunden. Das letzte Video vermittelt euch außerdem ergänzend noch einige Inhalte der höheren Mathematik. Testet euer Wissen auch mit den Matheprogrammen zu den Umkehr- und Kehrwertfunktionen.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI12-1 Kehrwertfunktionen - Einführung

    Was bedeutet Kehrwert bei der Funktion. Wie sind die Kehrwertfunktionen definiert. Sinus → Kosekans, Kosinus → Sekans, Tangens → Kotangens. Wertebereich (mögliche y-Werte) der Kehrwertfunktionen.

  • TRI12-2 Kehrwertfunktionen - Kosekans u. Sekans am Einheitskreis

    Wir betrachten uns, wie sich die Kehrwertfunktionen Kosekans und Sekans am Einheitskreis ergeben. Klärung der Begriffe Ko-Sekans und Sekans über den Sekantenabschnitt.

  • TRI12-3 Kehrwertfunktionen - Kotangens + csc-/sec-/cot-Funktionen

    Wir schauen uns an, wie Kotangens am Einheitskreis abgelesen wird und weshalb man den Begriff Ko-Tangens verwendet. Danach betrachten wir die csc-/sec-/cot-Funktionen inklusive Definitionslücken. Beispielaufgabe zum Finden des Schnittpunktes: cot(x-30°) = tan(x-30°).

  • TRI12-4 Ergänzungen zur Trigonometrie

    Berechnung der Aufgabe sin(x)=cos(x). Was sind gemischt-goniometrische Gleichungen. Blick auf die Umkehrfunktion Arkussinus. Ausdruck des Sinuswertes sin(45°) über eine Wurzel. Rückführung der trigonometrischen Funktionen auf Sinus. Ausblick höhere Mathematik: Taylorreihen + Fourierreihen.

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Wissen zur Lektion

Einführung

In dieser Lektion schauen wir uns die Kehrwertfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens an. Zur Wiederholung: Ein „Kehrwert“ hatten wir bereits bei der Bruchrechnung kennengelernt, wo wir ein 2/5 zu 5/2 umgekehrt hatten. Kehrwert bilden heißt also Zähler und Nenner tauschen ihre Plätze. Diesen Kehrwert können wir auch bei Funktionen anwenden.

f(x) = x | Kehrwert bilden

g(x) = 1/x

Kehrwertfunktion von Sinus: Kosekans

f(x) = sin(x) | Kehrwert bilden

g(x) = 1/sin(x)

Die Kehrwertfunktion nennen wir “Kosekans” (oder Kosekansfunktion). Abkürzung: csc(x)

Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Gegenkathete und Hypotenuse ein:

f(x) = sin(x) = GK/HY | Kehrwert bilden

g(x) = 1/(GK/HY) = HY/GK

Wir fragen mit dem Kehrwert jetzt also nicht mehr wie beim Sinus, wie lange ist die Gegenkathete im Verhältnis zur Hypotenuse, wir fragen jetzt vielmehr wie lang ist die Hypotenuse im Vergleich zur Gegenkathete.

Dabei können die Werte für Kosekans alle reellen Zahlen annehmen, nur Zahlenwerte zwischen minus 1 und 1 sind nicht möglich. Dies kann man übrigens auch gut im Plot erkennen:

~plot~ 1/sin(x) ~plot~

Noch ein Beispiel mit Sinus und Kosekans am Dreieck: Mit sin(30°) erhalten wir 0,5. Das heißt in einem Dreieck wird die Gegenkathete halb so lang sein wie die Hypotenuse. Berechnen wir jetzt den Kosekans von 30°, also csc(30°) = 2. Das heißt, die Hypotenuse ergibt sich aus 2 mal der Gegenkathete.

Kosekans Einheitskreis

Kehrwertfunktion von Kosinus: Sekans

Die Kehrwertfunktion von Kosinus bilden wir wie folgt:

f(x) = cos(x) | Kehrwert bilden

g(x) = 1/cos(x)

Die Kehrwertfunktion nennen wir “Sekans”. Abkürzung: sec(x)

Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Ankathete und Hypotenuse ein:

f(x) = cos(x) = AK/HY | Kehrwert bilden

g(x) = 1/(AK/HY) = HY/AK

Diese Kehrwertfunktion gibt uns an, wie lang die Hypotenuse im Vergleich zur Ankathete ist.

Dabei können die Werte für Sekans alle reellen Zahlen annehmen, nur Zahlenwerte zwischen minus 1 und 1 sind nicht möglich. Dies sieht man wieder gut beim Zeichnen des Graphen:

~plot~ 1/cos(x) ~plot~

Kehrwertfunktion von Tangens: Kotangens

Die Kehrwertfunktion von Tangens ergibt sich mit:

f(x) = tan(x) | Kehrwert bilden

g(x) = 1/tan(x)

Die Kehrwertfunktion nennen wir “Kotangens”. Abkürzung: cot(x)

Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Gegenkathete und Ankathete ein:

f(x) = tan(x) = GK/AK | Kehrwert bilden

g(x) = 1/(GK/AK) = AK/GK

Diese Kehrwertfunktion gibt uns an, in welchem Verhältnis die Ankathete zur Gegenkathete steht.

Zeichnen wir ihren Graphen:

~plot~ 1/tan(x) ~plot~

Wir erkennen, dass die Kotangensfunktion alle reellen Zahlen als Wertebereich hat.

Übersicht der Kehrwertfunktionen

Sinus → csc(x) = 1 / sin(x) = HY/GK

Kosinus → sec(x) = 1 / cos(x) = HY/AK

Tangens → cot(x) = 1 / tan(x) = AK/GK

Als Latex-Code

$$ \text{Sinus} \rightarrow \text{Kosekans:} \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} = \frac{HY}{GK} $$

$$ \text{Kosinus} \rightarrow \text{Sekans:} \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{HY}{AK} $$

$$ \text{Tangens} \rightarrow \text{Kotangens:} \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{AK}{GK} $$

Kosekans am Einheitskreis

Kosekans (also die Kehrwertfunktion von Sinus) können wir auch direkt am Einheitskreis ablesen. Die Länge der lila Linie gibt den Wert für Kosekans an:

Kosekans Einheitskreis

sin(30°) = 0,5

csc(30°) = 1 / 0,5 = 2

Kosekans lässt sich an dieser Strecke ablesen, weil sich mit ihr ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt ergibt:

Kosekans Einheitskreis Dreieck ablesen

Die Gegenkathete bzw. Höhe ist immer 1, siehe gestrichelte Linie bei y = 1, egal welchen Winkel wir einstellen (zwischen 0° und 180°).

Das heißt bei:

sin(α) = GK / HY

können wir GK = 1 einsetzen und erhalten:

sin(α) = 1 / HY

HY = 1 / sin(α)

Und wir wissen, dass 1 / sin(α) die Kehrwertfunktion von Sinus ist, also Kosekans. Daher entspricht die Länge der Hypotenuse dem Wert für Kosekans: HY = 1 / sin(α) = csc(x)

Am Einheitskreis erkennt man auch, dass die Werte nicht zwischen -1 und 1 liegen können, da die Hypotenuse nie kürzer als die Gegenkathete sein kann.

Aufzupassen ist bei 0°, denn csc(0°) = 1 / sin(0°) = 1 / 0 = nicht definiert.

Gleiches bei 180°, denn csc(180°) = 1 / sin(180°) = 1 / 0 = nicht definiert.

Zu merken ist außerdem: csc(90°) = 1 / sin(90°) = 1 / 1 = 1

Wenn wir Winkel zwischen 180° und 360° haben, dann ergeben sich negative Werte für Kosekans. Beispiele:

csc(230°) = 1 / sin(230°) = -1,3054…

csc(270°) = 1 / sin(270°) = 1/(-1) = -1

csc(320°) = 1 / sin(320°) = -1,5557...

csc(360°) = 1 / sin(360°) = 1/0 = nicht definiert

Sekans am Einheitskreis

Hier ist es dem Sinus sehr ähnlich, denn der Kosinus ist ja nichts weiter als der um 90° verschobene Sinus.

In der Abbildung ist die Länge der lila Linie der Wert für Sekans:

Sekans Einheitskreis

In diesem Beispiel ist sec(60°) = 2.

Der Sekans lässt sich übrigens an der Strecke ablesen, weil sich mit ihr ein rechtwinkliges Dreieck ergibt:

Sekans Einheitskreis Dreieck ablesen

Dort ist die Ankathete bzw. Breite immer 1 (siehe gestrichelte senkrechte Linie bei x = 1), egal welchen Winkel wir einstellen (1. und 4. Quadrant).

Das heißt bei:

cos(α) = AK / HY

können wir AK = 1 einsetzen und erhalten:

cos(α) = 1 / HY

HY = 1 / cos(α)

Und wir wissen, dass 1 / cos(α) die Kehrwertfunktion von Kosinus ist, also Sekans. Daher entspricht die Länge der Hypotenuse dem Wert für Sekans: HY = 1 / cos(α) = sec(x)

Wortherkunft Sekans und Kosekans

Man sagt “Sekans” und “Kosekans”, da „secare“ (lateinisch) „schneiden“ bedeutet und eine Sekante eine Linie ist, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.

Sekante am Kreis - Wort secare

Unsere wichtige Strecke nennen wir Sekantenabschnitt:

Sekantenabschnitt am Einheitskreis

Beim Sinus ist es der Sekans des Komplementärwinkels. Daher sagen wir dort “Ko-Sekans”.

Kotangens am Einheitskreis

Der Kotangens lässt sich im Einheitskreis ebenfalls ablesen, siehe lila gefärbte Linie:

Kotangens Einheitskreis

Warum ist dies möglich? Zeigen wir das, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck einsetzen:

Kotangens Einheitskreis Dreieck

Wir sehen, dass die Gegenkathete immer 1 lang ist. Der Tangens ist also:

tan(α) = GK / AK

tan(α) = 1 / AK | · AK

tan(α) · AK = 1 | : tan(α)

AK = 1 / tan(α)

Die Ankathete ist 1 / tan(α) lang, was dem Kotangens entspricht.

Wortherkunft Kotangens

Man sagt “Kotangens”, da es der Tangens des Komplementärwinkels ist.

Kotangens Wortherkunft

Wenn wir den Kopf ein wenig nach rechts drehen, sehen wir, dass die lila Linie der Tangens vom grünen Winkel ist.

Kotangens - Tangens vom Komplementärwinkel

Aus diesem Grund sagt man Tangens des Komplementärwinkels, also Kotangens.

csc-/sec-/cot-Funktionen

Beim Kotangens gibt es eine wichtige Sache, die wir beachten müssen. Wie wir wissen ist tan(90°) nicht definiert. Wenn wir jetzt sagen würden:

cot(x) = 1 / tan(x)

dann hieße das bei x = 90°:

cot(90°) = 1 / tan(90°)

Und da tan(90°) nicht definiert ist, ist 1 / tan(90°) ebenfalls nicht definiert, womit auch cot(90°) nicht definiert wäre.

Aber: Kotangens ist definiert als Ankathete durch Gegenkathete und damit auch schreibbar als cos(x) durch sin(x):

cot(x) = AK / GK

cot(x) = cos(x) / sin(x)

Da: cot(x) = (AK/HY) / (GK/HY) = AK / GK

Damit:

cot(x) = cos(x) / sin(x) | x=90°

cot(90°) = cos(90°) / sin(90°)

cot(90°) = 0 / 1

cot(90°) = 0

Der Kotangens von 90° ist also definiert! Er ist 1. Daher sollte man bei der Definition von cot(x) stets angeben:

cot(x) = cos(x) / sin(x) statt cot(x) = 1 / tan(x)

Für Kotangens gilt also:

cot(0°) = cos(0°) / sin(0°) = 1 / 0 = nicht definiert

cot(90°) = cos(90°) / sin(90°) = 0 / 1 = 0

cot(180°) = cos(180°) / sin(180°) = -1 / 0 = nicht definiert

Kosekans als Funktionsgraph

In der Abbildung sehen wir den Sinusgraph (rötlich) und den Kosekansgraph (blau):

Kosekans Graph

Jeder einzelne Wert der Sinusfunktion wird durch 1 gerechnet und wir erhalten diesen blauen Graphen. Bei 90° haben Sinusfunktion und Kosekansfunktion den gleichen Wert 1, denn sin(90°) = 1 und csc(90°) = 1 / 1 = 1.

Und hier sehen wir auch, dass kein Wert der Kosekansfunktion kleiner als 1 sein darf, denn die Hypotenuse kann ja nicht kürzer als die Gegenkathete sein.

Die Periode ist bei beiden Graphen gleich mit 0° bis 360°. Wo der Sinus 0 ist, ist der Kosekans nicht definiert, also zum Beispiel bei 0° und 180°. Dort haben wir sogenannte Definitionslücken.

Wie bei der Sinusfunktion können wir auch bei Kosekansfunktion die Periode verändern, den Graphen nach oben und nach unten verschieben, nach links und rechts verschieben, stauchen und strecken - und schließlich Berechnungen anstellen.

Beispiel eines veränderten Kosekansgraphen:

~plot~ csc(x);4*sec(x+pi);zoom[[10]] ~plot~

Sekans als Funktionsgraph

Bei der Sekansfunktion haben wir den gesamten Graphen um 90° verschoben (wie bei Kosinus und Sinus). Verschieben wir die Sekansfunktion um 90° nach rechts haben wir die Kosekansfunktion.

~plot~ csc(x);sec(x-0.5pi) ~plot~

Und auch hier können wir die Werte beliebig verändern. Stauchen, strecken, verschieben und so weiter.

Kotangens als Funktionsgraph

Der blaue Kotangesgraph ergibt sich, indem wir 1 durch jeden Tangenswert rechnen. Im Gegensatz zum Kosekans und Sekans kann der Graph der Kotangensfunktion alle beliebigen Werte annehmen. Er hat aber auch Definitionslücken, wo Tangens 0 ist. Also zum Beispiel bei 0° oder bei 180°. Die Periode von 0° bis 180°, dann von 180° bis 360° etc.

~plot~ cot(x) ~plot~

Auch diesen Graphen können wir strecken, stauchen, nach rechts und links verschieben und nach oben und unten verschieben. Beispiel:

~plot~ 2*cot(0.25x-pi)+1;[[15]] ~plot~

Beispielaufgabe: Schnittpunkt von Tangensfunktion mit Kotangensfunktion

Die Aufgabe soll lauten: Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen:

f(x) = cot(x - 30°)

k(x) = tan(x - 30°)

im Intervall Intervall 0° bis 90°.

Um einen Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir grundsätzlich die beiden Gleichungen gleichsetzen.

f(x) = k(x)

cot(x - 30°) = tan(x - 30°)

Nun machen wir es uns einfacher, indem wir cot in tan umwandeln:

1/ tan(x - 30°) = tan(x - 30°)

Dann können wir umformen:

1/ tan(x - 30°) = tan(x - 30°) | · tan(x - 30°)

1 = tan(x - 30°) · tan(x - 30°)

1 = tan2(x - 30°) | ±Wurzel

±√(1) = √(tan2(x - 30°))

±1 = tan(x - 30°)

Berechnen wir den Wert mit dem Arkustangens:

±1 = tan(x - 30°) | tan-1()

tan-1(±1) = tan-1(tan(x - 30°))

±45° = x - 30°

x1 = 75° und x2 = -15°

Lösung x2 ist nicht im Intervall 0° bis 90° und wird ignoriert. Wir haben nur die Lösung: x1 = 75°

Probe:

f(x) = cot(x - 30°) → f(75°) = cot(75° - 30°) = cot(45°) = 1

k(x) = tan(x - 30°) → tan(75° - 30°) = tan(45°) = 1

Bei haben den gemeinsamen Punkt (75° | 1) und schneiden sich dadurch.

Hier die Graphen:

~plot~ tan(x-30/180*pi);cot(x-30/180*pi);x=75/180*pi ~plot~

Unsere Lösung ist korrekt.

Ergänzungen zur Trigonometrie

Durch das Wissen der vorigen Lektionen seid ihr in der Lage, die Trigonometrie als Werkzeug zu verwenden. Ihr könnt jetzt beliebige Dreiecksaufgaben berechnen, aber auch trigonometrische Gleichungen lösen.

Für das Lösen trigonometrischer Gleichungen gibt es verschiedene Methoden. Es kann aber manchmal passieren, dass ihr eine Gleichung habt, für die es keinen allgemeinen Lösungsalgorithmus gibt. Zum Beispiel:

sin(3·x) - 4·x = 0

Mit den uns bekannten Methoden lässt sich diese Gleichung nicht berechnen. Für solche Gleichungen gibt es graphische Methoden der Lösung, aber auch numerische Näherungsverfahren. Solche Gleichungen nennt man „Gemischt-goniometrische Gleichungen“.

Funktion von Arkussinus

Wir können uns auch arcsin(x) als Funktion betrachten. Graphisch:

~plot~ asin(x);[[2]] ~plot~

Man nennt Arkussinus die Umkehrfunktionen von Sinus. Wir müssen hier ein Intervall festlegen, damit sie funktionieren. Die Arkussinusfunktion ist nur definiert für den Bereich -90° bis 90° (siehe y-Achse mit -0,5 Pi und 0,5 Pi).

Auch hier hilft es meistens, sich das Koordinatensystem gedreht vorzustellen und sich das als Ausschnitt der Sinusschwingung zu denken.

Umkehrfunktion von Sinus herleiten

Wir kommen mit folgenden Schritten zur Umkehrfunktion der allgemeinen Sinusfunktion:

$$ a·\sin(b·x + c) + d = y \\ a·sin(b·x + c) = y - d \\ sin(b·x + c) = \frac{y - d}{a} \\ b·x + c = sin^{-1}( \frac{y - d}{a} ) \\ b·x = sin^{-1}( \frac{y - d}{a} ) - c \\ x = \frac{ sin^{-1}( \frac{y - d}{a} ) - c } { b } \\ f^{-1} = \frac{ \sin^{-1}( \frac{y - d}{a} ) - c } { b } $$

Das f-1 steht für die Umkehrfunktion.

Unterschied zwischen Umkehrfunktion und Kehrwertfunktion

Die Umkehrfunktion ist nicht das gleiche wie die Kehrwertfunktion.

Bei der Umkehrfunktion werden die Zuordnungen von x und y getauscht, also umgekehrt: f(x) = y wird zu f(y) = x. Man schreibt dann für die umgekehrte Funktion f-1(x) = y.

Bei der Kehrwertfunktion hingegen wird der Kehrwert gebildet: f(x) = y wird zu f(x) = 1 / y. Die x und y werden nicht getauscht.

Sinusangabe mit Wurzel

Manchmal stößt man auf solche Angaben von Sinuswerten:

sin(45°) = 1/2 · √2 ≈ 0,707

Um zu verstehen, warum hier eine Wurzel verwendet wird, erinnern wir uns an die Sehnenfunktion (Chord). Dort hatten wir einen Kreis kennen gelernt, bei dem wir zwei Punkte gegenüber gesetzt haben und auf diese Weise zwei rechtwinklige Dreiecke erzeugen konnten.

Sehnenfunktion Kreis

Wenn wir einen Winkel von 90° haben, dann ist die Hälfte 45° und es ergibt sich die grüne Strecke mit ca. 1,414. Ursache dessen ist, dass wir aufgrund des rechten Winkels den Satz des Pythagoras anwenden können (Radius): 1² + 1² = c²

Sehnenfunktion Kreis mit Pythagoras

Die Strecke c ergibt sich also aus √(1² + 1²). Und das ist die Wurzel aus 2, also rund 1,414.

Die Hälfte dieser Strecke ist 1/2 · √2. Deshalb ist sin(45°) = 1/2·√2 ≈ 0,707.

Trigonometrische Funktionen auf Sinus zurückführen

Merken wir uns, dass alle trigonometrischen Funktionen auf Sinus zurückzuführen sind, den wir ja als erstes im rechtwinkligen Dreieck definiert hatten.

cos(x) = sin(90° - x)

csc(x) = 1/sin(x).

tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x)/sin(90°-x)

sec(x) = 1/cos(x) = 1/sin(90°-x)

Sinus konkret berechnen (Taylorreihe)

Bisher hatten wir immer einen Winkel eingesetzt und einen Sinuswert herausbekommen. Es gibt aber auch Möglichkeiten den Sinuswert anhand des eingesetzten Winkels zu berechnen.

Dazu nutzt man die sogenannten Taylorreihen, mit deren Hilfe es möglich ist, sich an den Sinuswert eines Winkels anzunähern. Dies ist jedoch höhere Mathematik, die erst viel später behandelt wird.

sin(x) = … Berechnung … = y

$$ \sin(x)=\sum _{ {n=0} }^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{ {2n+1} }}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots $$

Fourierreihen

Falls ihr Mathematik oder Naturwissenschaften studieren solltet, werdet ihr sicherlich auch auf die Fouriertransformationen bzw. auf die Fourierreihen stoßen, was nichts weiter bedeutet, als das ihr Schwingungen zerlegen könnt in Sinus- und Kosinusschwingungen, sie also damit berechnen und analysiert.

Beispiel:

Fourierreihe Beispiel Sinus Kosinus

Fourierreihe Beispiel Sinus Kosinus kombiniert

Der Bereich der Trigonometrie ist ein sehr weitreichender und ihr werdet im Alltag oder im Studium viele Anwendungsmöglichkeiten entdecken.

Wir hoffen es hat euch Freude bereitet, ihr habt einiges gelernt, werdet bei zukünftigen Aufgaben entsprechende Lösungen finden und alle möglichen Sachverhalte zukünftig vollständig verstehen.

Mathe-Programme

Lernprogramme zu Kehrwert- und Umkehrfunktionen der Trigonometrie:

  • Arkuskosinusfunktion
    Arkuskosinusfunktion
    Die Umkehrfunktion für Kosinus ist definiert für das Intervall 0° bis 180°. Sie ordnet einem Kosinuswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Arkussinusfunktion
    Arkussinusfunktion
    Die Umkehrfunktion für Sinus ist definiert für das Intervall -90° bis 90°. Sie ordnet einem Sinuswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Arkustangensfunktion
    Arkustangensfunktion
    Die Umkehrfunktion für Tangens ordnet einem Tangenswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Kosekans am Einheitskreis
    Kosekans am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Kosekans ist definiert als csc(x) = HY/GK = 1/sin(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Kosekansfunktion
    Kosekansfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Sinusfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Kosekans.
  • Kotangens am Einheitskreis
    Kotangens am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Kotangens ist definiert als cot(x) = AK/GK = 1/tan(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Kotangensfunktion
    Kotangensfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Tangensfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Kotangens.
  • Sekans am Einheitskreis
    Sekans am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Sekans ist definiert als sec(x) = HY/AK = 1/cos(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Sekansfunktion
    Sekansfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Kosinusfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Sekans.
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Tags: Trigonometrie einfach erklärt, Trigonometrische Kehrwertfunktionen wie Sekans, Kosekans und Kotangens

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