Potenzen können auch einen negativen Exponenten besitzen. Was das genau heißt, machen wir uns an dem Beispiel der Division und den bisher kennengelernten Potenzgesetzen klar.
Wir wollen diesen Term erzeugen: 3-1
Hierzu nutzen wir die Division unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze:
31 : 32 = 31-2 = 3-1
Wandeln wir die Division in einen Bruch um und schreiben die Potenzen aus:
31 : 32 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} \)
Wir kürzen jetzt eine 3 aus dem Zähler und Nenner. Und erhalten:
31 : 32 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} = \frac{1}{3} \)
Wir fassen die Berechnungen von oben zusammen:
\( 3^{1} : 3^{2} = {3}^{-1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} \)
Machen wir das gleiche Verfahren für \( 3^{-2} \), so ergibt sich:
\( 3^{1} : 3^{3} = 3^{ \textcolor{#F07}{-2} } = \frac{1}{3^{ \textcolor{#F07}{2} } } \)
Und für bspw. \( 3^{-5} \) ergibt sich:
\( 3^{1} : 3^{6} = {3}^{ \textcolor{#F07}{-5} } = \frac{1}{3^{ \textcolor{#F07}{5} } } \)
Und hier erkennen wir die Rechenregel für Potenzen mit negativen Exponenten:
\( a^{ \textcolor{#F07}{-n} } = \frac{1}{a^{ \textcolor{#F07}{n} }} \)