Potenzen mit negativen Exponenten

Potenzen können auch einen negativen Exponenten besitzen. Was das genau heißt, machen wir uns an dem Beispiel der Division und den bisher kennengelernten Potenzgesetzen klar.

Wir wollen diesen Term erzeugen: 3-1

Hierzu nutzen wir die Division unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze:

31 : 32 = 31-2 = 3-1

Wandeln wir die Division in einen Bruch um und schreiben die Potenzen aus:

31 : 32 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} \)

Wir kürzen jetzt eine 3 aus dem Zähler und Nenner. Und erhalten:

31 : 32 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} = \frac{1}{3} \)

Wir fassen die Berechnungen von oben zusammen:

\( 3^{1} : 3^{2} = {3}^{-1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} \)

Machen wir das gleiche Verfahren für \( 3^{-2} \), so ergibt sich:

\( 3^{1} : 3^{3} = 3^{ \color{#F07}{-2} } = \frac{1}{3^{ \color{#F07}{2} } } \)

Und für bspw. \( 3^{-5} \) ergibt sich:

\( 3^{1} : 3^{6} = {3}^{ \color{#F07}{-5} } = \frac{1}{3^{ \color{#F07}{5} } } \)

Und hier erkennen wir die Rechenregel für Potenzen mit negativen Exponenten:

\( a^{ \color{#F07}{-n} } = \frac{1}{a^{ \color{#F07}{n} }} \)