Potenzen mit negativen Exponenten

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Potenzen können auch einen negativen Exponenten besitzen. Was das genau heißt, machen wir uns an dem Beispiel der Division und den bisher kennengelernten Potenzgesetzen klar.

Wir können zum Beispiel folgende Division mit den Potenzgesetzen auflösen:

$$ {3}^{1} : {3}^{2} = {3}^{1-2} = {3}^{-1} $$

Wandeln wir die Division in einen Bruch um und schreiben die Potenzen aus:

$$ 3^{1} : 3^{2} = \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} $$

Wir kürzen jetzt eine 3 aus dem Zähler und Nenner. Und erhalten:

$$ 3^{1} : 3^{2} = \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} = \frac{1}{3} $$

Wir fassen die Berechnungen von oben zusammen:

$$ 3^{1} : 3^{2} = {3}^{-1} = \frac{1}{3} $$

Und das ist die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten: Wir potenzieren die Basis mit dem Exponenten und nehmen den Kehrwert von dieser Potenz.

Als Regel haben wir:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

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