Potenzieren von Potenzen

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Was passiert, wenn man eine Potenz potenziert?

Betrachten wir das Beispiel:

$$ { (3^{2}) }^{ 3 } = \text{?} $$

Wir schreiben als erstes die innere Potenz als Multiplikation aus (32 wird 3·3) und erhalten:

$$ { (3^{2}) }^{ 3 } = {(3·3)}^{3} $$

Jetzt schreiben wir die äußere Potenz als Multiplikation aus und wir haben:

$$ {(3·3)}^{3} = (3·3) \ · \ (3·3) \ · \ (3·3) $$

Die Klammern dürfen wir entfernen (vgl. Assoziativgesetz). $$ (3·3) \ · \ (3·3) \ · \ (3·3) = 3·3·3·3·3·3 $$

Wir schreiben diese Multiplikationen nun wieder als Potenz, indem wir die Anzahl der Faktoren zählen:

$$ 3·3·3·3·3·3 = 3^{6}$$

Damit: $$ (3^{2})^{ 3 } = 3^{2·3} = 3^{6}$$

Was ist passiert? Durch das Potenzieren der Potenz wird die innere Potenz als ein Faktor dargestellt, der in der Anzahl des äußeren Exponenten auftritt. Daher können wir den inneren Exponenten mit dem äußerem Exponenten multiplizieren (2 · 3 = 6)

Die Regel lautet damit:

$$ { (x^a) }^{ b } = x^{a · b} $$

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