Was ist 0 hoch 0?

Die Frage nach dem Ergebnis von „Null hoch null“ (00 = …) kann nicht eindeutig beantwortet werden.

Im Folgenden einige Überlegungen zu diesem Problem:

Variante 1

00 = 1 weil für jede Zahl gilt: a0 = 1 (siehe auch Permanenzprinzip)
30 = 1
20 = 1
10 = 1
00 = 1

Variante 2

00 = 0 weil für Null hoch eine Zahl die Null herauskommt: 0n = 0
03 = 0·0·0
02 = 0·0
01 = 0
00 = 0

Variante 3

00 = nicht definiert

Nicht definiert, weil durch beide Varianten 1 und 2 ein Widerspruch entsteht, also keine Eindeutigkeit vorliegt, was in der Mathematik problematisch ist. Dies wird übrigens auch der Grund sein, weshalb viele Taschenrechner bei 00 ein MATH ERROR bzw. - E - ausgeben.

Fazit

Häufig findet man die Antwort:

Verwende das, was für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.
Es ist oft sinnvoll 00 = 1 zu verwenden.

Es gibt dazu diverse Literatur und man trifft wie gesagt auf unterschiedliche Handhabungen. In der Informatik setzte sich zum Beispiel 00 = 1 durch. Das kannst du spaßeshalber selbst testen und in Google 0^0 eingeben.

Weiterer Ansatz

Schreiben wir 00 zu 00+0 und nutzen das Potenzgesetz, so entsteht:

00 = 00+0 = 00 · 00

Es muss also gelten: 00 = 00 · 00

Fragt sich also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt? Hier fallen uns zwei Zahlen ein, für die das möglich ist:

1 · 1 = 1 und 0 · 0 = 0

Allemein gelöst:

x · x = x
x · x = x |:x
x = 1

So sehen wir, dass hier als Lösung x = 1 herauskommt, doch es gibt eine zweite mögliche Lösung mit x = 0, denn x · x = x gilt auch für 0 · 0 = 0 (auch eine wahre Aussage). Dies kann man übrigens nicht „herleiten“, es ist ersichtlich!

Grundsätzlich ist aber 00 = 1 vorzuziehen. Würden wir 00 = 0 wählen, tauchen in der höheren Mathematik neue Probleme auf.

Ansatz über Grenzwerte

Die Folge \( a_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^0 \) hat den Grenzwert 1, da a1=1, a2=1, …

Die Folge \( b_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^{\frac{1}{n}} \) hat den Grenzwert 1.

Die Folge \( c_n = \left(d_n\right)^{d_n} \) hat für jede Nullfolge dn auch den Grenzwert 1.

Das Vorgenannte ist kein Beweis für die Richtigkeit der Definition, zeigt aber wesentliche Fälle, für die \( 0^0 = 1 \) gilt.

\( \left(e^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} = e^{-1} \) geht übrigens gegen 1, obwohl \( \frac{1}{n} \) und \( e^{-n} \) jeweils gegen 0 gehen.

Sonstiges

Wolframalpha bestimmt Null hoch Null als „undefined“.