Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen werden notwendig, wenn wir ganze Zahlen miteinander dividieren, denn durch die Division können Ergebnisse entstehen, die keine ganze Zahlen mehr sind. Als Beispiel:

14 : 10 = 1,4   (1,4 ist eine gebrochene Zahl)

Die Division von zwei ganzen Zahlen ergibt keine ganze Zahl mehr. Wir schreiben 14 : 10 als einen Bruch \( \frac{14}{10} \). Diese Zahl ist nicht mehr in der Menge der ganzen Zahlen, wir schreiben: \( \frac{14}{10} \notin ℤ \)

Rationale Zahlen sind Zahlen, die mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden können. Dabei sind Zähler und Nenner ganze Zahlen.

Diese Zahlenmenge hat das Zeichen (was für Quotient steht, das Ergebnis einer Division).

Allgemein ist eine rationale Zahl eine Zahl der Form \( \frac{a}{b} \), wobei a und b ganze Zahlen sein müssen. Zudem darf a nicht 0 sein, damit keine Division durch Null auftritt. Allgemein:

$$ \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b} \; | \; a,b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0\} $$

Was die Formel bedeutet: (rationale Zahlen) = (sind) die ganzen Zahlen () a und b, und zwar "|" (unter der Bedingung, dass) b nicht 0 ist.

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Daher ist jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl.

Grund hierfür ist, dass wir sie ebenfalls als Bruch schreiben können. Zum Beispiel: \( 2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \). Dies ist bekannt als Scheinbruch.

Die natürlichen und ganzen Zahlen gelten als Teilmenge der rationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \)

Beispiele rationaler Zahlen:

$$ \mathbb{Q} = \{ \ldots, \; -\frac{20}{9}, \; -2, \; -\frac{1}{3}, \; 0, \; \frac{1}{2}, \; \frac{5}{7}, \; 3, \; 1000, \; \ldots \} $$

Es gibt unendlich viele rationale Zahlen in Richtung minus unendlich (-∞) und in Richtung plus unendlich (+∞).

Zudem gibt es unendlich viele Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen. Beispiel: Zwischen \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \) finden sich unendlich viele weitere Brüche.

Keine rationalen Zahlen sind zum Beispiel die irrationalen Zahlen. Als Beispiel einer irrationalen Zahl können √2 oder die Kreiszahl π (≈ 3,14159) genannt werden.

Merkmale rationaler Zahlen

Die rationalen Zahlen haben folgende Merkmale:

  1. Sie sind als Bruch darstellbar (z. B. \( 1 = \frac{1}{1} \) oder \( 0,5 = \frac{1}{2} \) oder \( 3,25 = \frac{13}{4} \))
  2. Sie haben:
    - keine Nachkommastellen (Beispiel \( 2 = \frac{2}{1} \)),
    - endlich viele Nachkommastellen (Beispiel \( 1,5 = \frac{3}{2} \)) oder
    - unendlich viele Nachkommastellen (Beispiel \( 0,\overline{3} = 0,333... = \frac{1}{3} \))
  3. Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind diese periodisch.

Rationale Zahlen in der Schule

Man spricht in der Schulmathematik meist dann von „rationalen Zahlen“, wenn man das Rechnen mit negativen ganzen Zahlen einführt und die ganzen Zahlen außerdem um die Brüche erweitert. Neu ist dann für Schüler insbesondere der Umgang mit negativen Zahlen. Dies kann manchmal zu Missverständnissen führen.