G09: Rechnen mit Kommazahlen (Dezimalbrüche)

Inhalte:

Laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

Mathe-Videos

Es lässt sich leider immer wieder feststellen, dass Schüler oft nur noch den Taschenrechner benutzen und nicht mehr wissen, wie man Kommazahlen mit Papier, Stift und Köpfchen eigentlich rechnet. Die folgenden Videos holen in Erinnerung, wie das Rechnen mit Komma funktioniert. Mit Kommas rechnen zu können, ist wesentliche Grundlage der Mathematik.

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Wissen zur Lektion

Kommazahlen / Dezimalzahlen

Bevor wir uns anschauen, wie wir mit Kommazahlen rechnen können, sei erwähnt, dass diese auch unter dem Begriff "Dezimalzahlen" bekannt sind. "Dezimalzahlen", "Dezimalbrüche" und "Dezimalbruchzahlen" fassen wir in dieser Lektion unter dem Begriff Kommazahlen zusammen. Weitere Information hierzu findet ihr am Ende der Lektion.

Warum braucht man Kommazahlen?

Wenn ihr zum Beispiel eine ganze Zahl :10 mehrfach dividiert, so wird das Ergebnis immer kleiner bis es nicht mehr ganz ist. Mit jeder Division :10 springt das Komma eine Stelle nach links.

5000 : 10 = 500,0

500 : 10 = 50,0

50 : 10 = 5,0

5 : 10 = 0,5

0,5 : 10 = 0,05

Genauso springt das Komma mit jeder Multiplikation ·10 eine Stelle nach rechts, wie ihr hier gut erkennen könnt:

500,0 · 10 = 5000

50,0 · 10 = 500

5,0 · 10 = 50

0,5 · 10 = 5

0,05 · 10 = 0,5

Wichtig ist, dass ihr euch merkt, dass das Ergebnis einer Division stets gleich bleibt, wenn wir Dividend und Divisor mit der gleichen Zahl multiplizieren. Erinnert euch hier auch an das Erweitern bei den Brüchen, der Bruchwert bleibt unverändert, auch wenn wir erweitern oder kürzen. Hier ein Beispiel für die Kommazahlen:

$$ \begin{matrix} 10 & : & 5 & = & 2\\ \color{blue}{\downarrow \cdot 2} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 2} & & \\20 & : & 10 & = & 2 \end{matrix} $$

Dies verallgemeinert:

$$ \begin{matrix} 10 & : & 5 & = & 2\\ \color{blue}{\downarrow \cdot x} & & \color{blue}{\downarrow \cdot x} & & \\10 \cdot x & : & 5 \cdot x & = & 2 \end{matrix} $$

Nun wollen wir eine Division durchführen, die kein ganzes Ergebnis haben kann. Mit dem neuen Wissen erweitern wir die Division auf :10 und tragen dann einfach das Komma ab, um auf die Lösung zu kommen:

$$ \begin{matrix} 1 & : & 2 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 5} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 5} & & \\5 & : & 10 & = & 0,5 \\ \color{blue}{\downarrow : 5} & & \color{blue}{\downarrow : 5} & & \\1 & : & 2 & = & 0,5 \end{matrix} $$

An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass eine Division mit einer :100 oder :1000 usw. einer mehrfachen Division mit :10 entspricht. Wir verschieben also je Nullziffer das Komma einen nach links. Beispiel:

5000 : 1000 = 5000 : (10·10·10) = 5000 :10 :10 :10 = 500,0 :10 :10 = 50,00 :10 = 5,000 = 5

Addition von Kommazahlen

Wir können eine Kommazahl auseinandernehmen und die Addition stellenweise durchführen, hierzu sind die Zahlen am Komma ausgerichtet untereinander zu schreiben:

  1,23
+2,15
 
  3,38

Es kann auch zu einem sogenannten Übertrag kommen, wenn eine Addition von zwei Ziffern 10 oder mehr ergibt, dann wird ein Übertrag von 1 mit auf die nächste Stelle gezogen. Ein Beispiel hierzu:

  2,5789
+1,4555
  1,1110 Überträge
 
  4,0344

Subtraktion von Kommazahlen

Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition, aus diesem Grund gilt hier das Vorausgesagte ebenso: Zahlen am Komma ausgerichtet untereinander schreiben und stellenweise subtrahieren, zusätzlich Übertrage beachten.

 2,5789
-1,4599
-0,0100 Überträge
 
  1,1190

Multiplikation von Kommazahlen

Wenn wir Kommazahlen miteinander multiplizieren, können wir so umformen, dass ganze Zahlen entstehen. Nehmen wir 4 · 1,5 = ? Hier können wir 1,5 als 15:10 schreiben. Damit ergibt sich:

4 · 1,5 =
4 · 15:10 =
(4 · 15) : 10 =
60 : 10 = 6

Bei mehreren Nachkommastellen funktioniert dies ebenso:

4,25 · 1,55 =
425:100 · 155:100 =
425 · 155 :100 :100 =
65875 :100 :100 =
65875 :10 :10 :10 :10 =
6,5875

Kurz geschrieben 4,25 · 1,55 = 6,5875

Daher stammt auch die Regel, dass man die Nachkommastellen zählt, beide Faktoren als ganze Zahlen multipliziert und die Nachkommastellen dann zusammengezählt abträgt.

Wenn wir 0,3 · 0,4 berechnen sollen, so können wir das so rechnen:

(0,3) · (0,4) =
(3:10) · (4:10) =
3 · 4 : 10 : 10 =
3 · 4 : 100 =
12 : 100 =
0,12

Mit der gerade gelernten Regel: 3 · 4 = 12 und dann die zwei Kommastellen nach links abtragen: 12 → 0,12.

Division von Kommazahlen

Bei der Division multiplizieren wir Dividend und Divisor mit der gleichen Zahl, wir "erweitern" sozusagen auf ganze Zahlen (vgl. Brüche), dadurch ändert sich der Wert des Ergebnisses nicht. Ein Beispiel:

$$ \begin{matrix} 4,5 & : & 1,5 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \\45 & : & 15 & = & 3 \\ \color{blue}{\downarrow : 10} & & \color{blue}{\downarrow : 10} & & \\4,5 & : & 1,5 & = & 3 \end{matrix} $$

Interessant wird es, wenn wir eine Aufgabe haben wie 0,8 : 2, dann können wir so rechnen:

$$ \begin{matrix} 0,8 & : & 2 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \\8 & : & 20 & = & \\8 & : & (2 \cdot 10) & = & \\8 & : & 2 : 10 & = \\4 & : & 10 & =\\ 0,4 \end{matrix} $$

Schriftliche Division

In der Grundschule solltet ihr übrigens die schriftliche Division ausführlich geübt haben, hier noch einmal zur Erinnerung mit Kennzeichnung der Stellen:

Schriftliche Division

Schriftliche Multiplikation

Gleiches gilt für die schriftliche Multiplikation, so wie sie euch in der Schule begegnet sein müsste. Nachkommastellen zusammenzählen (wie unten: 2 N und 2 N) und beim Ergebnis eintragen (im Beispiel also 4 Nachkommastellen):

Schriftliche Multiplikation

Regel für Multiplikation in der Schule

Für die Multiplikation von Kommazahlen wird in der Schule meist folgende Regel angwendet:

  1. Nachkommastellen abzählen,
  2. dann die Zahlen ohne Komma multiplizieren und
  3. schließlich Nachkommastellen wieder abtragen.

Das heißt zum Beispiel anhand einer Aufgabe:

  1. bei 19,6 · 3,4 gibt es zwei Nachkommastellen
  2. dann ohne Komma rechnen 196·34 = 6664
  3. Jetzt zwei Nachkommastellen wieder abtragen: 6664 → 66,64 (also zwei Stellen von rechts nach links gehen + Komma setzen. D.h. Komma wieder zurückverschieben von 6664, zu 66,64).

Rechnerisch würde das übrigens so aussehen:
19,6 · 3,4 ist das Gleiche wie (196:10) · (34:10)
und folglich rechnet man
(196 · 34) : (10·10) = 6664 : 100 = 66,64

Null-Komma-Zahlen

Für eine Aufgabe wie zum Beispiel: 0,01 · 0,001 gilt übrigens das Gleiche. Ihr zählt die Nachkommastellen (hier sind es insgesamt 5) und multipliziert die beiden Zahlen zusammen: 1 · 1 = 1. Dann tragt ihr die 5 Nachkommastellen wieder ab, also von 1 fünf Mal nach links gehen und gleichzeitig Nullen setzen. Ihr erhaltet: 0,00001

Oder als Rechnung aufgeschrieben:
0,01 · 0,001 = 1:100 · 1:1000 = 1 · 1 : 100 : 1000
= 1 : 100 : 1000 = 0,01 : 1000 = 0,00001

Hier seht ihr auch, dass :1000 das Gleiche ist wie ·0,001:

0,01 · 0,001 = 1:100 · 1:1000 = 1 · 1 : 100 : 1000
= 1 : 100 : 1000 = 0,01 : 1000

... so wie wir es in der Lektion Bruchrechnung gesagt hatten.

Additionsregel

Vielleicht habt ihr euch gefragt, warum eigentlich die Additionsregel gilt, dass man Stellen einfach so untereinander addieren darf. Die Antwort findet ihr, wenn ihr die Zahl stellenweise auseinandernehmt und Summen bildet:

1,5 + 2,25 =
(1,0 + 0,5) + (2,00 + 0,20 + 0,05) =
1,0 + 0,5 + 2,00 + 0,20 + 0,05 =
1,0 + 2,0 + 0,5 + 0,2 + 0,05 =
3,0 + 0,7 + 0,05 =
3,75

  1,50
+2,25
 
  3,75

Dezimalbrüche

Grundsätzlich ist ein Dezimalbruch ein Bruch, der im Nenner eine 10, 100, 1000, ... (Zehnerpotenz) aufweist. Beispiel: 12/100

Jeder Dezimalbruch kann als Kommazahl geschrieben werden, 12/100 = 0,12. Daher meinen Lehrer oft Kommazahlen, wenn sie von Dezimalbrüchen sprechen. Aus diesem Grund findet man auch Definitionen wie: "Ein Dezimalbruch ist eine Bruchzahl, die mit einem Komma geschrieben wird. Zahlensystem ist dabei das Zehnersystem, sogenanntes Dezimalsystem."

Um Schüler nicht zu irritieren, empfehlen wir, statt "Dezimalbruch" (mit dem sofort ein Bruch assoziiert wird) das allgemeinere Wort "Kommazahl" zu nutzen. Mit "Kommazahl" wird deutlich, dass gebrochene Zahlen gemeint sind, die mit Komma geschrieben werden.

Definition Dezimalbruch: Ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, zum Beispiel 9/1000. Er kann in Form einer Kommazahl geschrieben werden als 0,009. "Dezimalbruch" wird manchmal auch als Synonym für "Kommazahl" verwendet.

Definition Dezimalzahl: Eine Zahl aus unserem Zahlensystem (Dezimalsystem mit Ziffern 0 bis 9), zum Beispiel 1,5. Man sagt auch, eine Zahl in Dezimalschreibweise. Andere Schreibweisen wären z. B. Binärzahlen oder römische Zahlen. "Dezimalzahl" wird oft als Synonym für "Kommazahl" verwendet, was aber nicht ganz richtig ist, denn auch ganze Zahlen wie 5, 43, 109 usw. sind Dezimalzahlen.

Kommazahlen lassen sich in Brüche umwandeln und danach mit den Bruchregeln berechnen, Beispiel:

0,123 · 0,2 =
123/1000 · 2/10 =
123 · 2/1000 · 10 =
246/10000 =
0,0246

Hier ein Beispiel für die Division:

0,4 : 0,02 =
4/10 : 2/100 =
4/10 · 100/2 =
4 · 100/10 · 2 =
400/20 =
20

Mathe-Programme

Mit diesem Lernprogramm könnt ihr zwei Kommazahlen miteinander addieren oder subtrahieren. Übertrag und Ergebnis werden automatisch berechnet:

  • Rechnen mit Kommazahlen
    Rechnen mit Kommazahlen
    Hier könnt ihr zwei Kommazahlen miteinander addieren oder subtrahieren, inklusive Übertrag und Ergebnis.

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Tags: Nachkommazahl, Kommazahl, Division, Treppendivision, Dezimalzahl, Dezimalbrüche, Dezimalbruchzahlen
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