Funktionstypen

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Funktionen können in folgende Gruppen untergliedert werden:

  1. Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen): Konstante, lineare, quadratische, kubische Funktionen, Potenzfunktionen
  2. Gebrochenrationale Funktionen
  3. Nichtrationale Funktionen: Wurzel-, Exponential-, Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen
  4. Spezielle Funktionen: Betragsfunktion, Vorzeichenfunktion, Gaußsche Glockenkurve
  5. Zusammengesetzte Funktionen: beliebig

Zu jeder Gruppe gehören verschiedene Typen von Funktionen.

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Diese Funktionen ergeben sich aus Polynomen. Sie werden daher auch „Polynomfunktionen“ genannt (sinnvoller). Bekannte Polynomfunktionen sind:

Konstante Funktionen

Allgemein: f(x) = a

Beispiel: f(x) = 2

Artikel: Konstante Funktionen

Graph:

Lineare Funktionen

Allgemein: f(x) = a·x + b

Beispiel: f(x) = 3·x + 2

Artikel: Lineare Funktionen

Graph:

Quadratische Funktionen

Allgemein: f(x) = a·x² + b·x + c

Beispiel: f(x) = 5·x² + 3·x - 9

Artikel: Quadratische Funktionen

Graph:

Kubische Funktionen

Allgemein: f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

Beispiel: f(x) = 1,5·x³ + 2·x² - 0,5·x - 5

Artikel: Kubische Funktionen

Graph:

Potenzfunktionen

Allgemein: \( f(x) = a·x^n \)
(Der Exponent n muss eine natürliche Zahl sein.)

Beispiel: f(x) = 3·x⁵

Artikel: Potenzfunktionen

Graph:

Gebrochenrationale Funktionen

Diese Typen von Funktionen erkennen wir daran, dass sich eine Polynomfunktion im Zähler und eine Polynomfunktion im Nenner befindet. Also zum Beispiel: \( f(x) = \frac{ x }{ x^3 + 2 } \) oder aber auch \( f(x) = \frac{1}{x} \) gilt als Polynomfunktion.

Beispiel: \( f(x) = \frac{x^2+1}{x^5 - 3·x} \) oder \( f(x) = \frac{(x+1)}{ (x-1)·(x+3) } \)

Artikel: Gebrochenrationale Funktionen

Graph (Beispiel):
(Die Graphen von gebrochenrationalen Funktionen können sehr unterschiedlich aussehen.)

Graph (einfachste Form einer gebrochenrationalen Funktion):

Hyperbelfunktionen

Allgemein: \( f(x) = a·x^{-n} \) bzw. \( f(x) = a·\frac{1}{x^n} \)
(Der Exponent n muss eine natürliche Zahl sein.)

Beispiel: \( f(x) = 2·x^{-3} \)

Artikel: Hyperbelfunktionen

Graph:

Wurzelfunktionen

Allgemein: \( f(x) = \sqrt[n]{x} \) bzw. \( f(x) = x^{\frac{n}{x}} \)
(Der Wurzelexponent n muss eine natürliche Zahl sein.)

Beispiel: \( f(x) = \sqrt[5]{x} \)

Artikel: Wurzelfunktionen

Graph:

Exponentialfunktionen

Allgemein: \( f(x) = a^{x} \)
(Die Basis a muss stets positiv sein.)

Beispiel: \( f(x) = 3^{x} \)

Artikel: Exponentialfunktionen

Graph:

Logarithmusfunktionen

Allgemein: \( f(x) = \log_{a} x \)
(Die Basis a muss stets positiv und größer 1 sein.)

Beispiel: \( f(x) = \log_{3} x \)

Artikel: Logarithmusfunktionen

Graph:

Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)

Zu den trigonometrischen Funktionen gehören mehrere Funktionstypen, die wir im Folgenden kurz vorstellen.

Sinusfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \sin(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = \sin(3·x + 1) + 1 \)

Artikel: Sinusfunktion

Graph:

Kosinusfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \cos(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = \cos(1,5·x + 2) + 4 \)

Artikel: Kosinusfunktion

Graph:

Tangensfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \tan(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = 2·\tan(1·x + 1) - 0,5 \)

Artikel: Tangensfunktion

Graph:

Kosekansfunktion (Kehrwertfunktion von Sinus)

Allgemein: \( f(x) = a · \csc(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = 3·\csc(2·x + 1) + 1 \)

Artikel: Kosekansfunktion

Graph:

Sekansfunktion (Kehrwertfunktion von Kosinus)

Allgemein: \( f(x) = a · \sec(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = 2,5·\sec(0,5·x + 1,5) - 1 \)

Artikel: Sekansfunktion

Graph:

Kotangensfunktion (Kehrwertfunktion von Tangens)

Allgemein: \( f(x) = a · \cot(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = 1,25·\cot(3·x + 2) - 4 \)

Artikel: Kotangensfunktion

Graph:

Arkussinusfunktion (inverse Sinusfunktion)

Umkehrung der Sinusfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \arcsin(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = \arcsin(x + 2) + 3 \)

Artikel: Arkussinusfunktion

Graph:

Arkuskosinusfunktion (inverse Kosinusfunktion)

Umkehrung der Kosinusfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \arccos(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = \arccos(x - 2) + 0,5 \)

Artikel: Arkuskosinusfunktion

Graph:

Arkustangensfunktion (inverse Tangensfunktion)

Umkehrung der Tangensfunktion

Allgemein: \( f(x) = a · \arctan(b·x + c) + d \)

Beispiel: \( f(x) = 0,5·\arctan(x + 1) + 2 \)

Artikel: Arkustangensfunktion

Graph:

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