Tangensfunktion

Zur Erinnerung: Tangens ergibt sich aus Sinus/Kosinus. Zum Beispiel: Tangens von 45° = Sinus (45°) / Kosinus (45°) = 0,707 / 0,707 = 1. Wir schreiben also tan(45°) = 1.

Tangenswerte können positiv und negativ sein und im Gegensatz zu Sinus und Kosinus alle beliebigen Werte annehmen.

Als nächstes wollen wir die Tangenswerte den entsprechenden Winkeln zuordnen.

Graph der Tangensfunktion

Zeichnen wir den Graphen in ein zweites Koordinatensystem ein. Tangens von 0° ist 0. Wenn wir zu 45° gehen, dann haben wir Tangens von 45° ist 1. Und wenn wir über 45° gehen, erhalten wir immer höhere Werte. Wenn wir über 90° gehen (bei 90° ist der Tangens nicht definiert), bekommen wir negative Werte. Beispiel tan(135°) = -1. Bei tan(180°) erreichen wir den Tangenswert 0. Wie bei tan(90°) ist auch tan(270°) nicht definiert.

Animation: Graph der Tangensfunktion

Wie wir erkennen, erhalten wir immer diese geschwungenen Linien, die uns die Tangenswerte wiedergeben. Anders als bei den Graphen für Sinus und Kosinus haben wir hier keine Welle, sondern einen leicht geschwungenen nach oben gehenden Graphen, dessen Wert 0 ist bei 0°, 180° und 360°. Die Periode liegt hier zwischen 90° und 270°. Die Periode ist im Vergleich zu Sinus und Kosinus kürzer. Sie beträgt 180°, und bei Sinus und Kosinus 360°.

Periode beim Tangens

Auch beim Tangensgraphen erkennen wir eine Periodizität. Jeder Winkel α erhöht um +360° hat den gleichen Tangenswert. Die Tangenswerte wiederholen sich, die Tangensfunktion ist periodisch.

Definitionslücken bei Tangens

Wir sehen beim Tangensgraphen auch die sogenannten Definitionslücken, also die Stellen, wo sich kein y-Wert zuordnen lässt. Beim Einheitskreis hatten wir gelernt, dass wir für tan(90°) keinen Wert haben. Er war nicht definiert, da tan(90°) = sin(90°) / cos(90°) = 1 / 0 = nicht definiert. Gleiches bei tan(270°). Für „nicht definiert“ können wir im Graphen keinen Wert einzeichnen, wir sagen Definitionslücke dazu. Bei 90° und bei 270° haben wir keinen Wert zum Eintragen.

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