Spezielle Werte trigonometrischer Funktionen

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1. Winkelfunktionen

Wenn man den Sinus-/Kosinus-/Tangens-Wert berechnet, muss man den Taschenrechner vorher auf rad umstellen (statt deg).

Sinus

\( \begin{array}{|lc|} \hline \operatorname{sin(0)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{sin(\frac{\pi}{6})} & {=} & {\frac{1}{2}} \\ \hline \operatorname{sin(\frac{\pi}{4})} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ \hline \operatorname{sin(\frac{\pi}{3})} & {=} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \hline \operatorname{sin(\frac{\pi}{2})} & {=} & {1} \\ \hline \operatorname{sin(\pi)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{sin(\frac{3\pi}{2})} & {=} & {-1} \\ \hline \operatorname{sin(2\pi)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{sin(-x)} & {=} & -\operatorname{sin}(x) \\ \hline \end{array} \)

Kosinus

\( \begin{array}{|lc|} \hline \cos (0) & {=} & {1} \\ \hline \operatorname{cos(\frac{\pi}{6})} & {=} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \hline \operatorname{cos(\frac{\pi}{4})} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ \hline \operatorname{cos(\frac{\pi}{3})} & {=} & {\frac{1}{2}} \\ \hline \operatorname{cos(\frac{\pi}{2})} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{cos(\pi)} & {=} & {-1} \\ \hline \operatorname{cos(\frac{3\pi}{2})} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{cos(2 \pi)} & {=} & {1} \\ \hline \operatorname{cos (-x)} & {=} & { \cos(x)} \\ \hline \end{array} \)

Tangens

\( \begin{array}{|lc|} \hline \operatorname{tan(0)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{tan(\frac{\pi}{6})} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ \hline \operatorname{tan(\frac{\pi}{4})} & {=} & {1} \\ \hline \operatorname{tan(\frac{\pi}{3})} & {=} & {\sqrt{3}} \\ \hline \operatorname{tan(\frac{\pi}{2})} & {=} & { \text{n.d.} } \\ \hline \operatorname{tan(\pi)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{tan(\frac{3\pi}{2})} & {=} & { \text{n.d.} } \\ \hline \operatorname{tan(2\pi)} & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{tan(-x)} & {=} & -\operatorname{tan}(x) \\ \hline \end{array} \)

Oben ist zwar \( \text{n.d.} \) (nicht definiert) zu finden, es ergeben sich jedoch trotzdem folgende Grenzwerte:

\( \begin{array}{|lcc|c|c|c|} \hline \operatorname{tan(x)\rightarrow\infty} & {\text { für }} & { x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \\ \hline {\tan (x) \rightarrow-\infty} & {\text { für }} & { x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+} } \\ \hline \operatorname{tan(x)\rightarrow\infty} & {\text { für }} & { x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}^{-} } \\ \hline {\tan (x) \rightarrow-\infty} & {\text { für }} & { x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}^{+} } \\ \hline\end{array} \)

Für \( x \rightarrow \infty \) existieren keine Grenzwerte.

2. Inverse Winkelfunktionen

\( \begin{array}{|lc|} \hline \operatorname{arcsin}(0) & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{arcsin}(1) & {=} & {\frac{\pi}{2}} \\ \hline \operatorname{arcsin}(-1) & {=} & -{\frac{\pi}{2}} \\ \hline \end{array} \)

\( \begin{array}{|lc|} \hline \operatorname{arccos}(0) & {=} & {\frac{\pi}{2}} \\ \hline \operatorname{arccos}(1) & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{arccos}(-1) & {=} & {\pi} \\ \hline \end{array} \)

\( \begin{array}{|lc|} \hline \operatorname{arctan}(0) & {=} & {0} \\ \hline \operatorname{arctan}(1) & {=} & {\frac{\pi}{4}} \\ \hline \operatorname{arctan}(-1) & {=} & {-\frac{\pi}{4}} \\ \hline \end{array} \)

\( \begin{array}{|lcc|} \hline {\operatorname{arctan}(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}} & {\text { für }} & {x \rightarrow \infty} \\ \hline {\operatorname{arctan}(x) \rightarrow -\frac{\pi}{2}} & {\text { für }} & {x \rightarrow -\infty} \\ \hline \end{array} \)

Auf Taschenrechnern findet man die Arkusfunktionen meist als Taste \( \sin^{-1}(x) \) angegeben. Dies bedeutet das gleiche wie \( \operatorname{arcsin} (x) \).

3. Hyperbolische Funktionen

\( \begin{array}{|l|} \hline \sinh (0)=0 \\ \hline \operatorname{cosh(0)=1} \\ \hline \end{array} \)

\( \begin{array}{|ll|} \hline {\sinh (x) \rightarrow \infty} & {\text { für }} {x \rightarrow \infty} \\ \hline {\sinh (x) \rightarrow-\infty} & {\text { für } x \rightarrow-\infty} \\ \hline {\cosh (x) \rightarrow \infty} & {\text { für }} {x \rightarrow \infty} \\ \hline {\cosh (x) \rightarrow \infty} & {\text { für }} {x \rightarrow-\infty} \\ \hline \end{array} \)

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