Mathe F02: Einführung Lineare Funktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem ihr jetzt verstanden habt, wie das Kartesische Koordinatensystem funktioniert, legen wir gleich richtig los! Es folgt die Einführung zu den Linearen Funktionen. Viel Spaß mit dem Lernvideo.

F02 Lineare Funktionen - Einführung

Was ist f(x), gesprochen "f von x". Wie entsteht eine Funktionsgleichung und wie ergibt sich die Steigung eines Graphen. Was ist ein Steigungsdreieck. Steigung einer linearen Funktion ermitteln.

Werde Kunde bei Matheretter, um alle Inhalte werbefrei zu genießen und auf alle Videos zuzugreifen.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

Zugriff auf alle Videos bestellen

- Funktionsgleichung in Normalform f(x) = m·x + n, Lineare Gleichung, Schnittpunkt mit y-Achse, Steigung und Steigungsdreieck
- Funktion aus 2 Punkten ermitteln und Funktionsgleichung aufstellen (Schnittpunkt mit y-Achse und Steigung), Achsenschnittpunkte ermitteln
- Funktionsgleichung und konstante Funktion, Nullstelle und Nullstellenberechnung, senkrechter Funktionsgraph

Wissen zur Lektion

Was ist eine Funktion (allgemein)?

Wenn wir allgemein in der Mathematik von einer "Funktion" sprechen, meint dies die Zuordnung von einem Wert zu einem anderen Wert. Also im Fall der linearen Funktionen ist dies (x|y), ein y-Wert wird einem x-Wert zugeordnet, was wir dann auch zeichnen können, siehe unten. Es gibt noch andere Darstellungsmöglichkeiten für eine Funktion, zum Beispiel als Wertetabelle, als Pfeildiagramm (man zeichnet mehrere x → y) oder als eine Menge notiert M = { (-1|1), (0|0), (2|4) }. Wir konzentrieren uns jedoch im Folgenden nur auf die linearen Funktionen.

Graph im Koordinatensystem

Zur Einführung in die linearen Funktionen schauen wir uns zuerst einen Graphen in einem Koordinatensystem an. Die Anforderung an ein solches Koordinatensystem: Es besteht immer aus zwei Achsen mit Beschriftung der Achsen. Außerdem ist eine Einteilung der Achsen ("Skalierung") notwendig, damit man weiß, in welchen Abständen wir Punkte und Graphen einzeichnen müssen. Nun können wir uns die erste lineare Funktion anschauen: eine Gerade. "Gerade" ist die Abkürzung für "gerade Linie", also eine gerade verlaufende Linie ohne Knicke oder Kurven.

lineare funktion beispiel

Punkt auf Graphen bestimmen

Wenn wir nun einen bestimmten Punkt auf diesem Graph untersuchen möchten, so müssen wir den Betrachtern klar machen, von welchem Punkt wir sprechen. Dazu nehmen wir uns die die beiden Achsen als Anhaltspunkte, um dem Punkt zwei Werte zuzuordnen (Koordinaten), die ihn eindeutig identifizieren. Gerne wird dabei die waagerechte Achse als “Breite” und die senkrechte Achse als “Höhe” bezeichnet. Meistens wird die waagerechte Achse mit der Variablen "x" bezeichnet und die senkrechte Achse mit "y". Je nach Situation kann man aber auch andere Variablen verwenden. So wird bei Zeitangaben auch gerne der Buchstabe "t" statt "x" verwendet.

Um einen Punkt zu bestimmen bleiben wir bei dem Bild mit der Breite und der Höhe. Suchen wir uns hierzu einen beliebigen Punkt aus.

Lineare Funktion mit Punkt P

Um anderen zu verdeutlichen, von welchem Punkt gerade die Rede ist, müssen wir ihn spezifizieren. Dazu schauen wir uns an, wie weit dieser vom Schnittpunkt der beiden Achsen (Ursprung) entfernt ist. Gehen wir nun vom Ursprung so weit nach rechts (im Bedarfsfall nach links), wie der Punkt entfernt ist. Sind wir genau unter dem gesuchten Punkt, haben wir die Breite gefunden. Die Höhe finden wir, wenn wir von dem angekommenen Wert an der unteren Achse nach oben gehen. Die Höhe kann anhand der senkrechten Achse abgelesen werden. Der Punkt wird also mit P(Breite|Höhe) wiedergegeben, was in unserem Beispiel P(2|4) ist.

Lineare Funktion mit Punkt P(2|4)

Die Funktionsgleichung f(x) = m·x = y

Wenn wir nun tatsächlich eine Gerade vorzuliegen haben, mehrere Punkte dieser Geraden untersuchen wollen und die Werte nicht genau ablesen können, müssen wir ein anderes Hilfmittel nutzen: Die Funktionsgleichung. Hat man die Funktionsgleichung der Geraden, kann man jeden Punkt auf der Geraden exakt rechnerisch bestimmen, solange man entweder die Breite oder die Höhe hat. Eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat dabei die Form:

f(Breite) = Steigung · Breite = Höhe

Oder mathematisch allgemein aufgeschrieben:

f(x) = m·x = y, wobei m die Steigung ist.

Man spricht dies als: “f von x ist gleich m · x gleich y.” Oder fachlicher bezogen auf f(x) = y: “Der Funktionswert an der Stelle x ist gleich y”. Der Wert an der waagerechten Achse (x-Achse) wird als Stelle bezeichnet!

Funktionsgleichung über Wertetabelle aufstellen

Hat man nur einen Graphen vorliegen, nicht aber die Funktionsgleichung, muss man diese erst bestimmen. Dazu liest man sich markante Wertepaare ab (also zugehörige x- und y-Werte), mit denen man die unbekannte Steigung m berechnen kann. Da wir bei unserer allgemeinen Funktionsgleichung nur eine Unbekannte haben, reicht schon ein Wertepaar aus, um m zu bestimmen. Ein Hilfsmittel ist dabei die Wertetabelle. Ein Beispiel eines Graphen:

Graph bestimmen

Für die Tabelle haben wir nun eine Zeile, in der wir die x-Werte eintragen und in die Zeile darunter tragen wir die zugehörigen y-Werte ein. Das sieht dann so aus:

x 0 0,5 1 2
y 0 1 2 4

Wir haben hier mehr Paare als nötig bestimmt, was nur der Veranschaulichung dienen soll. Die Funktionsgleichung bestimmt sich nun mit Aufstellen einer Gleichung. Dazu nehmen wir ein Wertepaar aus der Wertetabelle und ersetzen x bzw. y entsprechend.

f(x) = m · x = y

f(1) = m·1 = 2

m·1 = 2

m = 2/1 = 2

Wir haben nun m = 2 ermittelt und setzen dies in unsere Funktionsgleichung ein:

f(x) = m· x = y

f(x) = 2 · x = y

Mit der bestimmten Funktionsgleichung können wir nun die Gerade untersuchen. Wollen wir beispielsweise die Höhe des Graphen an der Stelle x = 2,5 erfahren, so ersetzen wir den x-Wert durch die 2,5 und das Ergebnis entspricht dem y-Wert, also der Höhe.

f(x) = 2 · x = y

f(2,5) = 2 · 2,5 = 5

Der Punkt des Graphen an der Stelle x = 2,5 hat also die Höhe y = 5. Wir schreiben: Q(2,5|5).

Punkte eines Graphen über Funktionsgleichung berechnen

Haben wir die Funktionsgleichung f(x) = 2·x, dann können wir nun die Koordinaten jeden beliebigen Punktes konkret berechnen, indem wir einen Wert für x einsetzen und das y ausrechnen:

f(Breite) = 2·Breite = Höhe
f(x) = 2·x = y
f(0) = 2·0 = 0
f(1) = 2·1 = 2
f(2) = 2·2 = 4

Die hieraus entstehenden Punkte können wir nun in ein Koordinatensystem einzeichnen, für unser Beispiel wären das: A(0|0) und B(1|2) und C(2|4). Verbinden wir diese Punkte, so erhalten wir unseren Graphen (die eingezeichnete Funktion).

Funktionen ersten Grades

Wir sprechen übrigens von einer linearen Funktion, wenn es sich bei f(x) = m·x um eine Funktion “ersten Grades” handelt, wir also keinen Exponenten (Hochzahl einer Potenz) bei x haben. Hätten wir x² oder x³, würde keine lineare Funktion mehr vorliegen. Der Vorfaktor bzw. die Steigung m ist hier hingegen nicht von Bedeutung und kann auch 3495493·x sein, trotzdem bleibt es bei einer Geraden.

In der nächsten Lektion schauen wir uns die linearen Funktionen nochmals genauer an und vertiefen diese. Unter anderem verschieben wir die Gerade, die wir bisher nur durch den Ursprung betrachtet haben, was auf die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = m·x + n führt (für uns war bisher n = 0).

Definitionsmenge

Als Definitionsmenge bezeichnet man übrigens all die Zahlen, die man für x einsetzen kann. Zwei Beispiele:

f(x) = x

Man kann bei dieser Funktion alle (reellen) Zahlen als Lösung einsetzen und schreibt dann: x ∈ ℝ.

f(x) = 1/x

Diese Funktion hat als Definitionsmenge: x ∈ ℝ / 0. Das heißt alle reellen Zahlen außer der 0, da 1:0 nicht definiert ist (vgl. Division durch Null).

Wertebereich

Als Wertebereich bezeichnet man übrigens das, was für y herauskommen kann, also all die möglichen Lösungen.

Abschließender Hinweis: Die Graphen von linearen Funktionen nennt man auch "Geraden", also gerade Linien.

In der nächsten Lektion behandeln wir die sogenannte "Normalform" einer Funktionsgleichung, sie lautet:
f(x) = m·x + n
m ist die Steigung
n ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse

Damit ihr das verstehen könnt, schaut euch die nächste Lektion an: Lineare Funktionen in Normalform

Mathe-Programme Lineare Funktion

In dem folgenden Koordinatensystem könnt ihr selbst die Steigung betrachten. Bewegt die Maus und ihr seht die Abstände für x und y und die sich ergebende Steigung m - das ist der Wert, der vor dem x steht. Die Werte können auf ganze Zahlen gerundet werden. Dazu unten links im Programm "Werte runden" aktivieren.

  • Steigung eines linearen Graphen
    Steigung eines linearen Graphen
    Bewegt die Maus und seht die Abstände für Breite (grün) und Höhe (blau) und die sich ergebende Steigung m (der Wert, der vor dem x steht).

Da der Graph (die rote Linie) durch den Koordinatenursprung (0 | 0) geht, können wir die einfache Form von f(x) = m·x verwenden. Wann wir die Form f(x) = m·x + n benutzen, erfahrt ihr in der nächsten Lektion.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen zu Linearen Funktionen

1. Was bedeutet f(x)? Was ist das f und was das x?

2. Wie nennt man so etwas: f(x) = 2·x ?

3. Was gibt uns bei f(x) = 2·x = y das y an?

4. Kann man von f(3) = 2·3 = 6 die Koordinaten eines Punktes P(x|y) ablesen?

5. Was ist ein Graph?

6. Was ist eine Funktion?

7. Was ist eine Funktionsgleichung?


B: Berechne bzw. zeichne die Graphen, wenn gefordert.

1. Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = -2,5·x für die x-Werte 1, 2, 3 und 4.

2. Zeichne den Graphen der Funktion g(x) = 0,5·x

3. Zeichne den Graphen der Funktion h(x) = -x

4. Zeichne die Graphen k(x) = 2x und m(x)=x:2, was stellst du fest? Wie kannst du x:2 noch schreiben?

5. Zeichne den Graphen n(x) = 1,5x und trage danach ein Steigungsdreieck ein. Wähle Koordinaten mit ganzen Zahlen!

6. Zeichne den Graphen der Funktion p(x) = 2, was erkennst du?

7. Überlege, was passiert, wenn du bei einer Funktionsgleichung x=0 einsetzt, wo wird der Punkt immer sein?

8. Überlege, was passiert, wenn du bei einer Funktionsgleichung y=0 wählst, wo wird der Punkt immer sein?


C: Graphen und Steigungen

1. Wie groß ist die Steigung bei der Funktion f(x) = 12·x?

2. Welche Steigung ist größer, die bei der Funktion a(x) = -x·5 oder bei b(x) = -x·(-5)?

3. Welcher der Graphen stellt die Funktion f(x) = 2,5x dar?

Drei lineare Funktionen


4. Wie ergibt sich die Steigung, aus dem Verhältnis Differenz Breite / Differenz Höhe oder Differenz Höhe / Differenz Breite?

5. Welche Steigung hat die folgende Gerade?

Steigung der Gerade


6. Lies die Steigung der Geraden g und h ab. Wie lauten ihre Funktionsgleichungen?

Steigung von Geraden ablesen


7. Wenn zwei Graphen parallel sind, siehe Grafik, was haben sie dann gemeinsam?

Parallele Graphen


8. Welche Funktionsgleichung f(x)=3x; g(x)=2x; h(x)=-x passt zu folgendem Graphen:

Linearer Graph einer Funktion


D: Anwendungen für lineare Funktionen

1. Zur Wiederholung: Welche Achse ist die Abszisse und welche die Ordinate?

2. Zeichne die Punkte A(0|0), B(2|3) und C(-3|-4,5) in ein Koordinatensystem ein. Welche lineare Funktion kannst du erkennen?

3. Liegt der Punkt A(3|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2·x + 3 oder auf dem Graphen der Funktion g(x) = 2·x? Begründe.

4. Stell dir vor, die x-Achse ist die Zeit und die y-Achse der zurückgelegte Weg. Ein Auto fährt los und ist nach 1 Stunde 100 km gefahren, nach 2 Stunden 200 km und nach 3 Stunden 300 km. Kannst du eine Funktionsgleichung hierfür aufstellen? (Wenn nicht im Kopf, dann trage die Punkte doch einmal in ein Koordinatensystem ein.)

5. In einem Koordinatensystem ist die y-Achse der Wert in Euro und die x-Achse die Menge eines Produktes. 3 Produkte kosten 39 Euro, 4 Produkte kosten 52 Euro, 5 Produkte kosten 65 Euro. Wie lautet die Funktionsgleichung hierfür?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Untertitel anzeigen

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Auf dem Laufenden bleiben per Newsletter:

Zwei Mails pro Monat.