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Ganze Zahlen

Bei einer Subtraktion von zwei natürlichen Zahlen kann es dazu kommen, dass sich eine Zahl kleiner als 0 ergibt:

3 - 1 = 2    ← positive Zahl (+)
3 - 2 = 1    ← positive Zahl (+)
3 - 3 = 0
3 - 4 = -1   ← negative Zahl (-)
3 - 5 = -2   ← negative Zahl (-)

subtraktion minuend kleiner subtrahend

Es ergibt sich immer eine negative Zahl, wenn der Subtrahend größer ist als der Minuend.

Bei zum Beispiel 4 - 9 ergibt sich -5 als Ergebnis, dies ist eine negative ganze Zahl. Diese Zahl gehört nicht zu den natürlichen Zahlen, da diese alle positiv sind. Daher führen wir eine neue Zahlenmenge ein, die wir die ganzen Zahlen nennen.

Die ganzen Zahlen werden notwendig, da mit den natürlichen Zahlen keine negativen Werte dargestellt werden können.

Negative Werte (also Werte kleiner als 0) werden im Alltag zum Beispiel benötigt bei: Höhen, Temperaturen, Kontoständen usw.

Das Wort „negativ“ bedeutet hier übrigens „Gegenteil“ (und zwar das Gegenteil von den positiven Zahlen).

Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen und deren Umkehrung inklusive der Zahl Null. „Umkehrung“ meint, dass alle natürlichen Zahlen ein Minus (negatives Vorzeichen) erhalten.

Das Formelzeichen der ganzen Zahlen ist und die Menge wird aufgeschrieben als:

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Die Aufzählung der Zahlen kann in beide Richtungen beliebig lange fortgesetzt werden. Jede ganze Zahl hat immer einen Vorgänger (mit -1) und einen Nachfolger (mit +1). Es gibt damit unendlich viele ganze Zahlen.

Wenn wir die Vorgänger betrachten, gehen wir Richtung minus unendlich (-∞). Wenn wir die Nachfolger betrachten, gehen wir Richtung plus unendlich (+∞).

Die natürlichen Zahlen gelten als Teilmenge der ganzen Zahlen, wir schreiben ℕ ⊂ ℤ.

Mengenschreibweise

Wir verwenden das Zeichen , um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen , um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört. Beispiele:

5 ∈ ℤ („5 ist Element der ganzen Zahlen“)
-77 ∈ ℤ („-77 ist Element der ganzen Zahlen“)
0,5 ∉ ℤ („0,5 ist nicht Element der ganzen Zahlen“)

Es gibt weitere Zahlenbereiche, die u. a. eine Division erlauben, bei der ein Rest übrig bleibt. Vergleiche hierzu rationale Zahlen.

Zum Weiterlesen:

  1. Geschichte der negativen Zahlen
  2. Negative Zahlen im Alltag