Mathe G22: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 9. Klasse

Mathe-Videos

In diesen Mathematik-Videos betrachten wir uns die Teilbarkeit für die Zahlen 0 bis 10. Wir klären, warum die Division durch Null nicht definiert ist und warum die Teilbarkeitsregeln funktionieren.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G22-1 Teilbarkeit - Regeln für Division durch 0, 1, 2, 3, 4

    Wieso ist die Division durch Null nicht definiert. Was ist eine Quersumme und wozu braucht man sie. Herleitung der Teilbarkeitsregeln von Eins bis Vier.

  • G22-2 Teilbarkeit - Regeln für Division durch 5 bis 10

    Teilbarkeitsregeln für Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Anwendung bei den Brüchen, Zusammenfassung aller Teilbarkeitsregeln.

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Wissen zur Lektion

Warum ist die Division durch Null nicht definiert?

Dass es zu Widersprüchen kommt, wenn wir die Division durch Null erlauben würden, kann man sich mit dem Umstellen folgender Gleichung vor Augen führen:

3 : 0 = z
3·1 : 0 = z
3 · (1:0) = z
3 · (1/0) = z
3 · (1/0) = z | :(1/0)
3 = z : (1/0)
3 = z · (0/1)
3 = z · 0
Widerspruch, denn: z · 0 = 0
3 ≠ z · 0 = 0

Null dividiert durch eine Zahl

Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar. Das erkennt ihr, wenn ihr folgende Gleichung umformt:

0 · n = 0
// :n auf beiden Seiten
0 · n : n = 0 : n
0 · 1 = 0 : n
0 = 0 : n
// Seiten tauschen
0 : n = 0

Dass man durch Null nicht teilen darf, haben wir im 1. Video gesehen. Es gibt hierzu auch eine kleine Eselsbrücke, die einfach zu merken ist: "Du kannst alles im Leben teilen, aber nicht durch Null!"

Zusammenfassung der Teilbarkeitsregeln

:0 → nicht definiert (also nicht möglich)
:1 → jede Zahl ist :1 teilbar
:2 → jede gerade Zahl ist :2 teilbar
:3 → Quersumme muss :3 teilbar sein
:4 → letzten 2 Ziffern der Zahl müssen :4 teilbar sein
:5 → Zahl muss mit 0 oder 5 enden
:6 → Zahl muss :2 und :3 teilbar sein
:7 → Summe (letzten 2 Ziffern + 2*alle vorderen Ziffern) muss : 7 teilbar sein
:8 → letzten 3 Ziffern der Zahl müssen :8 teilbar sein
:9 → Quersumme muss :9 teilbar sein
:10 → Zahl muss mit 0 enden

Ergänzungen zur Teilbarkeit

Schreibweise für Teilbarkeit lautet: 6 | 18
das bedeutet nichts weiter als "6 ist Teiler von 18"

Die Teilermenge T meint die Auflistung aller Teiler einer Zahl.
Bei der Zahl 4 wäre die Teilermenge {1,2,4}

Eine Zahl durch sich selbst dividiert ist immer 1, also
a:a = 1 → zum Beispiel 3:3 = 1

Es ist stets möglich, die Teilbarkeit über den Rest zu ermitteln.
Als Beispiel nehmen wir 345 : 3
= (300 + 40 + 5) : 3
= 300:3 + 40:3 + 5:3
= 100 + 39 + 1
Rest: 0 + 1 + 2 = 3
⇒ Rest 3 ist :3 teilbar, also ist auch 345 durch :3 teilbar

Die Teilbarkeit durch Sechs kann auch anders beschrieben werden. Im Video sagten wir, dass eine Zahl z :6 teilbar ist, wenn die Zahl z auch durch :2 und :3 teilbar ist. Dies kann man auch einfacher ausdrücken: "Ist die Quersumme einer geraden Zahl :3 teilbar, dann ist die Zahl :6 teilbar."

Interessant sind die Teilbarkeitsregeln für Sieben! Neben der in der Video-Lektion vorgestellten gibt es noch weitere, z. B.:

1. Über die alternierende 3er Quersumme
alternierend = von Zahl zu Zahl wechselndes Vorzeichen

Beispiel:
7770784 = 7 + 770 - 784 = -7
⇒ (-7) ist : 7 teilbar, also ist auch 7770784 durch :7 teilbar

2. Mithilfe der Variante: Subtraktion des doppelten der letzten Ziffer von allen vorderen Ziffern, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration)

Beispiel:
770784 → 77078 - 2*4 = 77070
77070 → 7707 - 2*0 = 7707
7707 → 770 - 2*7 = 756
756 → 75 - 2*6 = 63
⇒ 63 ist : 7 teilbar, also ist 770784 auch :7 teilbar

Die Regel heißt: "Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist."

Teilbarkeit durch Zwei, Vier, Acht, etc.
Wenn ihr euch die Teilbarkeit von 2, 4, 8 etc. anschaut, könnt ihr Folgendes ableiten:

z:2 = z:2¹ → zu testen: letzte 1 Ziffer :2
z:4 = z:2² → zu testen: letzten 2 Ziffern :4
z:8 = z:2³ → zu testen: letzten 3 Ziffern :8

Allgemein: z:2n → zu testen sind die letzten n Ziffern :2n

...es gibt viele Teilbarkeitsregeln, wenn ihr Interesse habt, noch tiefer einzusteigen, schaut in unserem Mathe-Expertenforum vorbei.

Mathe-Programme Teilbarkeit

Mit diesem Mathe-Programm könnt ihr schnell und einfach die Teiler einer beliebigen Zahl bestimmen! Primzahlen werden extra hervorgehoben.

  • Teilbarkeit Teilbarkeit
    Dieses Programm zeigt die Teilbarkeit für die Zahlen 1 bis 10000. Die Teiler werden angegeben sowie die Primfaktorzerlegung der gewählten Zahl.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Mit den nachfolgenden Aufgaben könnt ihr euer Wissen zur Teilbarkeit überprüfen. Beachtet, dass wir uns im Raum der Ganzen Zahlen befinden. Das heißt, beim Beispiel 5 : 4 = 1,25 würden wir sagen, dass 5 nicht durch 4 teilbar ist, da keine Ganze Zahl herauskommt. Viel Erfolg!

A: Grundlegende Fragen

1. Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?

2. Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?

3. Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?

4. Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar?

5. Wann ist eine Zahl durch 10 teilbar?

6. Können wir durch 0 dividieren?


B: Teilbarkeitsaufgaben 1

Notiere, durch welche Zahlen die folgenden Zahlen teilbar sind.

1. 4

2. 6

3. 8

4. 10

5. 15

6. 25

7. 40

8. 100


C: Teilbarkeitsaufgaben 2

Welche der folgenden Zahlen ist durch 3 teilbar und welche zusätzlich auch durch 6 und warum?

1. 15

2. 24

3. 31

4. 33

5. 69

6. 119

7. 150

8. 200


D: Teilbarkeitsaufgaben 3

1. Was sind die Teiler von 99, 148, 155?

2. Welche Teiler haben 66 und 99 gemeinsam?

3. Stimmt die Aussage, dass wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, sie auch durch 2 teilbar ist?

4. Stimmt die Aussage, dass wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, sie auch durch 9 teilbar ist?

5. Stimmt es, dass wenn eine Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, sie auch durch 12 teilbar ist?


E: Teilbarkeitstabelle

Setze entsprechende Kreuze in die Felder, in denen die Teilbarkeit zutrifft:

2 3 5 6 7 9
122
300
305
360
423
444
1025
2000
2001


F: Zusatzaufgaben (schwierig)

1. Welches ist die kleinste vierstellige Zahl, die durch 4 und 9 teilbar ist?

2. Welche Zahl ist durch 12 aber nicht durch 3 teilbar?

3. Welche ist die kleinste Zahl, die durch 1 bis 5 teilbar ist?

4. Wähle zwei Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind, deren Summe jedoch durch 6 teilbar ist.

5. Welche ist die nächste Zahl, die nach 165 folgt und durch 3 teilbar ist?

6. Gesucht sind drei Zahlen, die zwischen 100 und 120 liegen und durch 2 und 4, aber nicht durch 3 teilbar sind.

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Tags: Division durch Null, 0, Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Quersumme der Neun, Nulldivision, Teilbarkeit, Teilbarkeitsregeln, Neutrales Element der Multiplikation und Neutrales Element der Division (rechtsneutral), teilbar, Vielfaches

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