GEO02: Kreis und Winkel

Inhalte:

Voraussetzung:
Laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Bevor wir richtig mit der Trigonometrie loslegen können, müssen wir drei geometrische Grundlagen beherrschen: 1. Kreis, 2. Winkel, 3. Dreiecke. In den folgenden 4 Videos erfahrt ihr alles, was ihr über Kreise und Winkel wissen müsst. Dies ist ein wesentlicher Wissensbaustein zum Verständnis der Trigonometrie (Sinus und Kosinus, Tangens).

Testet auch eins der vielen Lernprogramme zu Kreisen und Winkeln.

GEO02-1 Kreis und Winkel - Der Kreis

Der Kreis: Entstehung und Definition des Kreises über Punkte und Polygon. Aufbau des Kreises, Elemente des Kreises. Bedeutung der Kreiszahl Pi. Berechnen von Kreisfläche und Kreisumfang.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Winkel: Entstehung von Winkeln durch Drehung zweier Strahlen, Winkelmaße (Prozent, Grad, Bogenmaß), Winkelmessung mit dem Geo-Dreieck. Winkelarten und Winkelbezeichnungen. Winkel unter 0 Grad und über 360 Grad.
  • Winkel an zwei sich schneidenden Gerade. Gegenwinkel (Scheitelwinkel) und Nebenwinkel, Eigenschaften. Winkel an Parallelen: Stufen- und Wechselwinkel. Zusammenfassung.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Kreis?

Bei dem Kreis handelt es sich um ein geometrisches Gebilde, bei dem alle Punkte den gleichen Abstand zum sogenannten Mittelpunkt haben. Dabei betrachten wir das Ganze in einer Ebene, also auf einem Blatt Papier. Würden wir die obige Definition auf eine weitere Dimension ausweiten, uns also im Raum befinden, würde man von einer Kugel sprechen, was uns an dieser Stelle jedoch nicht weiter interessieren soll.

Aufbau des Kreises

Um in der Trigonometrie arbeiten zu können, muss man sich mit dem Kreis und den vorliegenden Begrifflichkeiten vertraut machen. Diese werden im Folgenden mit den wichtigsten Formeln eingeführt.

Kreislinie

Spricht man von einem Kreis, meint man meist die Kreislinie. Diese ist insofern besonders, da jeder Punkt auf dieser Kreislinie vom Mittelpunkt gleich weit entfernt ist. Ist man an der Länge dieser Linie interessiert, so spricht man vom Umfang. Dieser berechnet sich zu u = 2·π·r, wobei r der Radius ist und π die Zahl Pi. Die Kreiszahl π entspricht etwa 3,1415926… und gibt das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser an (π = u/d). Die Zahl ist als Konstante auf jedem Taschenrechner zu finden.

Kreislinie

Radius

Jeder Punkt auf der Kreislinie hat einen gewissen Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet. In der Mathematik wird er meist mit einem „r“ versehen bzw. abgekürzt.

Anmerkung: Der Einheitskreis ist in der Trigonometrie der wichtigste Kreis, er spielt eine entscheidende Rolle, um die Werte für Sinus und Kosinus zu bestimmen und zu veranschaulichen. Die Besonderheit dabei ist, dass der Radius beim Einheitskreis die Länge 1 hat.

Kreisradius

Durchmesser

Verlängert man den Radius auf die gegenüberliegende Seite, so hat man den Durchmesser d eines Kreises. Sprich zwei sich gegenüberliegende Punkte (bzgl. Mittelpunkt) ergeben den Durchmesser, welcher damit die Länge d = 2·r besitzt.

Kreisdurchmesser

Kreisfläche

Die Fläche innerhalb der Kreislinie wird als Kreisfläche bezeichnet. Diese lässt sich wiederum über den Radius berechnen. Es gilt A = π·r2.

Kreisfläche

Sehne

Weiterhin interessant ist die sogenannte Sehne. Als Sehne wird die Strecke bezeichnet, die sich ergibt, wenn man zwei Radien abträgt und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindet. Die Formel lautet s = 2·r·sin(α/2), wobei α der Winkel zwischen den Radien ist.

Sehne vom Kreis

Kreisbogen

Hat man zwei Radien gespannt, so kann man einen Kreisbogen erkennen. Das ist der Teil der Kreislinie, welcher zwischen den beiden Schnittpunkten der Radien mit der Kreislinie liegt. Die Formel für die Länge des Kreisbogens lautet: b = r·π·α/180°, auch hier ist α der Winkel zwischen den Radien.

Kreisbogen

Kreissektor/Kreisausschnitt

Der Kreissektor (oder auch Kreisausschnitt) ist die Fläche, die sich zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen aufspannt. Man berechnet sie mit A = r2·π·α/360°

Kreissektor

Kreissegment/Kreisabschnitt

Das Kreissegment (oder auch Kreisabschnitt) ist wiederum eine Fläche. Diese allerdings ist nur der Teil zwischen Kreisbogen und Sehne.

Kreissegment

Alle Kreisformeln in Übersicht

Bezeichnung Formel Alternative Formel
mit Durchmesser
Umfang
Länge der Kreislinie
u = 2·π·r u = π·d
Kreisfläche A = π·r2 A = ¼·π·d2
Länge der Sehne
α ist der Winkel zwischen den Radien
s = 2·r·sin(α/2) s = d·sin(α/2)
Kreisbogen (Länge) b = r·π·α/180° b = (d/2)·π·α/180°
Kreissektor (Fläche) A = r2·π·α/360° A = (d/2)2·π·α/360°
Kreissegment (Fläche) A = r2/2 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben
A = d2/8 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben

Symmetrie des Kreises

Man sagt, dass der Kreis eine perfekte Symmetrie aufweist. Als Beispiel sei eine Grafik gegeben:

Kreissymmetrie

Hier erkennt ihr, dass die gebogenen Strecken a, b und c unterschiedliche Längen haben, jedoch ihr Anteil am jeweiligen Gesamtkreis stets gleich ist.

Auch ist zu erwähnen, dass wir den Winkel als Kreisbogen abtragen können und dieser sich dabei überall auf der Kreislinie befinden kann. Der Kreisbogen bleibt stets gleich lang. Nehmen wir im Gegensatz dazu ein Quadrat, so würden wir unterschiedliche Streckenlängen je nach gewählter Winkelposition und Einzeichnung als Teil des Umfangs erhalten:

Quadrat - Winkel nicht möglich

Die Strecke d ist kürzer als die Strecke e. Wir schreiben d ≠ e bzw. d < e.

Der Kreis eignet sich aufgrund seiner Symmetrie hervorragend für die Trigonometrie. Bemerkenswert ist in diesem Zusammehang auch, dass der Kreis unendlich viele Symmetrieachsen aufweist.

Was ist ein Winkel?

Die Trigonometrie greift nicht nur auf den Kreis zurück, sondern auch auf die Winkel. Die Winkel werden einheitlich mit griechischen Buchstaben versehen, also zum Beispiel α, β, γ, δ. Auch wenn die Benennung einem frei steht, sollte man sich daran halten. Eine Tabelle mit dem griechischen Alphabet findet ihr zum Üben unten.

Der Winkel selbst ergibt sich, wenn man zwei Strahlen hat, welche von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, der als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet wird und zwischen den Strahlen liegt. Die Strahlen, die vom Scheitelpunkt abgehen, heißen Schenkel.

Winkel können auf verschiedene Weisen definiert werden:

1. Als Figur, die durch zwei Geraden geformt wird, die von einem gemeinsamen Punkt auseinanderstreben.
2. Als Figur, die von zwei Ebenen geformt wird, die von einer gemeinsamen Geraden auseinanderstreben.
3. Als Rotation, die benötigt wird, um eine der beiden Geraden (oder Ebenen) auf die andere zu legen.
4. Die Fläche zwischen beiden Geraden. Bzw. der Raum zwischen beiden Ebenen.

Der Begriff "Winkel" kommt wahrscheinlich aus dem Indogermanischen und bedeutet "gebogen sein", "auseinander drehen". Man kann einen Winkel mit drei Punkten bestimmen, Scheitelpunkt und zwei weitere Punkte, durch die die beiden abgehenden Strahlen gehen sollen. Mit Hilfe dieser 3 Punkte kann man den Winkel ebenfalls benennen, zum Beispiel ∠ABC, dabei ist der in der Mitte stehende Punkt der Scheitelpunkt, also "B".

Winkelbezeichnungen

Die unterschiedlichen Winkelbezeichnungen sollen nun vorgestellt werden, sie werden mit Hilfe eines Kreises veranschaulicht. Ein Kreis hat dabei 360° (360 Grad), welches die geläufigste Einheit zur Beschreibung eines Winkels ist. Man nennt diese Einheit "Gradmaß".

Nullwinkel (α = 0°)

Der Nullwinkel liegt vor, wenn der Winkel zwischen zwei Strahlen 0° entspricht.

Nullwinkel

Spitzer Winkel (0° < α < 90°)

Liegt der Winkel zwischen 0° und 90°, so liegt ein spitzer Winkel vor.

Spitzer Winkel

Rechter Winkel (α = 90°)

Ein bekannter und wichtiger Winkel ist der rechte Winkel. Hier liegt der eine Strahl senkrecht bzw. orthogonal auf dem anderen Strahl. Der rechte Winkel wird uns noch oft bei der Trigonometrie begegnen, auch beim Satz des Pythagoras spielt er eine wesentliche Rolle.

Rechter Winkel

Stumpfer Winkel (90° < α < 180°)

Spricht man von einem stumpfen Winkel, so liegt der Winkel zwischen 90° und 180°.

Stumpfer Winkel

Gestreckter Winkel (α = 180°)

Ein Halbkreis spannt einen Winkel von 180° auf, der erste Strahl wird also um den zweiten Strahl verlängert.

Gestreckter Winkel

Überstumpfer Winkel (180° < α < 360°)

Hat der Winkel mehr als 180° aber weniger als 360° so wird er überstumpfer Winkel genannt. Aus älterer Zeit mag auch noch „überspitzer Winkel“ geläufig sein, welcher für Winkel über 270° verwendet wurde.

Überstumpfer Winkel

Vollwinkel (α = 360°)

Hat man einen vollen Kreis durchlaufen, spricht man auch von einem Vollwinkel. Dieser entspricht 360°. Hier liegen die beiden Strahlen wieder aufeinander. Es ist also Sache der Interpretation, ob man einen Nullwinkel oder einen Vollwinkel meint.

Vollwinkel

Winkelarten in der Übersicht

Winkelgröße Winkelname
Nullwinkel
zwischen 0° und 90°Spitzer Winkel
90°Rechter Winkel
zwischen 90° und 180°Stumpfer Winkel
180°Gestreckter Winkel
zwischen 180° und 360°Überstumpfer Winkel
zwischen 270° und 360°Überspitzer Winkel (früher)
360°Vollwinkel

Winkel an parallelen Geraden

Winkel können an parallelen Geraden in Beziehung zueinander stehen. Um diese Beziehungen auszudrücken, hat man verschiedene Begriffe entwickelt. Die Wichtigsten folgen:

Scheitelwinkel/Gegenwinkel

Schneiden sich zwei Strecken oder Geraden, so würde man auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt C um A, B, D und E insgesamt 360° ablaufen. Die sich gegenüberliegenden Seiten haben dabei stets den gleichen Winkel. Diese Besonderheit wird Scheitelwinkel oder auch Gegenwinkel genannt.

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Die Winkel, die neben einem zu betrachtenden Winkel liegen, werden Nebenwinkel genannt. Der zu betrachtende Winkel und einer seiner Nebenwinkel ergeben dabei stets 180°.

Nebenwinkel

Stufenwinkel

Wählt man eine Gerade, die parallel zu einer anderen liegt und fügt man eine weitere Gerade hinzu, die die beiden Geraden schneidet, so können wieder Beziehungen zwischen Winkeln ausgemacht werden, und zwar zwischen den Winkeln an den Schnittpunkten. Es ist möglich das Wissen über einen Winkel bei Schnittpunkt A auch bei Schnittpunkt C anzuwenden (siehe Grafik), denn die sogenannten Stufenwinkel (rot) besitzen dieselbe Größe.

Stufenwinkel

Wechselwinkel

Den Wechselwinkel erhält man, indem man den Stufenwinkel nimmt und seinen Scheitelwinkel (Gegenwinkel) bildet. Der rote Winkel an Schnittpunkt C ist also der Scheitelwinkel (Gegenwinkel) vom Stufenwinkel, der sich aus dem roten Winkel am Schnittpunkt A ergibt. Beide sind gleich groß.

Wechselwinkel

Winkelmaß

Es gibt unterschiedliche Einheiten einen Winkel anzugeben. Die bekannteste Einheit wird Grad sein, was dem Gradmaß entspricht (der Modus "DEG" auf dem Taschenrechner, engl. "degree" = Grad). Dabei ergeben 360° einen Vollwinkel, also die komplette Drehung eines Strahles um seinen Anfangspunkt. Steht man im Kreismittelpunkt und möchte eine Kreislinie einmal abschauen, so muss man sich um 360° drehen. Es ist auch möglich, sich mehrfach um sich selbst zu drehen. Das ergibt dann Vielfache von 360°. Dreht man sich bspw. zweimal um sich selbst, dann dreht man sich um 2·360° = 720°.

Eine weitere Möglichkeit, einen Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß (der Modus "RAD" auf dem Taschenrechner, RAD steht für Radiant, die Einheit des Bogenmaßes). Der Vollwinkel entspricht 2·π, also 2·3,14159... ≈ 6,2832.

Wie in der Lektion TRI01 kennengelernt, gibt es noch das geodätische Winkelmaß, bei dem ein Vollwinkel 400 gon entspricht.

Es gibt noch deutlich mehr Möglichkeiten, einen Winkel anzugeben. Neben der prozentualen Einteilung (Vollwinkel mit 100 %) sei noch das Zeitmaß erwähnt, hier entsprechen 24 h (Stunden) einem Vollwinkel.

Winkel umrechnen - Von Grad zu Bogenmaß

Oft muss man einen Winkel vom Gradmaß (DEG) ins Bogenmaß (RAD) umrechnen. Hierzu verwendet man eine Verhältnisgleichung, und zwar gilt: 1 Vollkreis = 360°, 1 Vollkreis = 2·Π ≈ 2·3,14159 ≈ 6,2832. Man hat einen Winkel, zum Beispiel 60° und kann nun im Verhältnis aufstellen:

$$ \frac{60°}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ 2·Π·\frac{60°}{360°} = x \\ 2·Π·\frac{1}{6} = x \quad | \text{Anteil ist ein Sechstel von Pi} \\ x ≈ 1,0472 $$

Wir können verallgemeinern:

$$ \frac{\alpha}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ x = 2·Π·\frac{\color{blue}{\alpha}}{360°} $$

Jetzt müssen wir nur noch den Winkel Alpha α in die obige Formel einsetzen und können bequem ausrechnen.

Genauso funktioniert es auch, wenn wir von Bogenmaß zu Gradmaß umrechnen wollen:

$$ \frac{x}{360°} = \frac{\alpha}{2·Π} \quad |·360° \\ x = 360°·\frac{\color{blue}{\alpha}}{2·Π} \\ $$

Jetzt nur noch den Wert für Winkel Alpha α im Bogenmaß einsetzen und Grad ausrechnen.

Winkelnamen in Übersicht

Griechische Kleinbuchstaben: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Griechische Großbuchstaben: Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

Die folgende Tabelle listet alle griechischen Buchstaben mit ihrem Namen, ihrem HTML-Code (für den Einsatz in Webseiten) und Ihrem Unicode (wichtig für Programmierer) auf:

NameZeichenHTML-CodeUnicode
alpha α &alpha; &#945;
beta β &beta; &#946;
gamma γ &gamma; &#947;
delta δ &delta; &#948;
epsilon ε &epsilon; &#949;
zeta ζ &zeta; &#950;
eta η &eta; &#951;
theta θ &theta; &#952;
iota ι &iota; &#953;
kappa κ &kappa; &#954;
lambda λ &lambda; &#955;
mu μ &mu; &#956;
nu ν &nu; &#957;
xi ξ &xi; &#958;
omicron ο &omicron; &#959;
pi π &pi; &#960;
rho ρ &rho; &#961;
sigma σ &sigma; &#963;
tau τ &tau; &#964;
upsilon υ &upsilon; &#965;
phi φ &phi; &#966;
chi χ &chi; &#967;
psi ψ &psi; &#968;
omega ω &omega; &#969;
thetasym ϑ &thetasym; &#977;
piv ϖ &piv; &#982;
Alpha Α &Alpha; &#913;
Beta Β &Beta; &#914;
Gamma Γ &Gamma; &#915;
Delta Δ &Delta; &#916;
Epsilon Ε &Epsilon; &#917;
Zeta Ζ &Zeta; &#918;
Eta Η &Eta; &#919;
Theta Θ &Theta; &#920;
Iota Ι &Iota; &#921;
Kappa Κ &Kappa; &#922;
Lambda Λ &Lambda; &#923;
Mu Μ &Mu; &#924;
Nu Ν &Nu; &#925;
Xi Ξ &Xi; &#926;
Omicron Ο &Omicron; &#927;
Pi Π &Pi; &#928;
Rho Ρ &Rho; &#929;
Sigma Σ &Sigma; &#931;
Tau Τ &Tau; &#932;
Upsilon Υ &Upsilon; &#933;
Phi Φ &Phi; &#934;
Chi Χ &Chi; &#935;
Psi Ψ &Psi; &#936;
Omega Ω &Omega; &#937;
sigmaf ς &sigmaf; &#962;
upsih ϒ &upsih; &#978;

Mathe-Programme Kreis und Winkel

  • Kreisentstehung (Punkte)
    Kreisentstehung (Punkte)
    Mit diesem Programm lässt sich darstellen, wie ein Kreis aus unendlich vielen Punkten entsteht.
  • Kreisentstehung (Polygon)
    Kreisentstehung (Polygon)
    Hier lässt sich zeigen, wie ein Kreis als regelmäßiges Polygon mit unendlich vielen Seiten beschrieben werden kann.
  • Kreis: Aufbau des Kreises
    Kreis: Aufbau des Kreises
    Bei diesem Programm sind alle Elemente des Kreises aktivierbar. Sehr praktisch, um den Aufbau des Kreises zu lernen.
  • Strahlen und Winkelmessung (Geodreieck)
    Strahlen und Winkelmessung (Geodreieck)
    Hier können zwei Strahlen beliebig voneinander weggedreht werden. Anschließend kann man mit einem Geodreieck den Winkel abmessen!
  • Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Verschiedene Winkelmaße (Grad, Prozent, Bogenmaß, Gon, Zeit) zur Veranschaulichung am Kreis.
  • Winkel an der Uhr
    Winkel an der Uhr
    Mit diesem Programm könnt ihr Winkel an der Uhr üben. Wählt euch Minuten oder Stunden und stellt die Uhrzeit ein. Ein Winkel ergibt sich.
  • Winkelnamen (Griechische Buchstaben)
    Winkelnamen (Griechische Buchstaben)
    Alle griechischen Buchstaben (Klein- und Großschreibung) inklusive Lernmodus!
  • Winkelarten
    Winkelarten
    Nullwinkel, spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel und Vollwinkel.
  • Winkel: Scheitelwinkel und Nebenwinkel
    Winkel: Scheitelwinkel und Nebenwinkel
    Hier schneiden sich zwei Geraden und es entstehen 4 Winkel. Die Punkte der Geraden lassen sich bei diesem Programm bewegen, so dass beliebige Winkel entstehen können.
  • Winkel: Stufenwinkel und Wechselwinkel
    Winkel: Stufenwinkel und Wechselwinkel
    Zwei Punkte auf zwei Parallelen können frei bewegt werden. Dabei werden Zusammenhänge zwischen Stufenwinkel und Wechselwinkel erkennbar!

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Übungsaufgaben

Aufgabenblätter

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