TRI05: Sinus und Kosinus bei Allgemeinen Dreiecken (Sinussatz + Kosinussatz)

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In der vorigen Lektion haben wir Sinus und Kosinus kennengelernt. Diese können wir nun benutzen, um allgemeine Dreiecke zu berechnen. Hierzu nutzen wir den Sinussatz und den Kosinussatz, die wir in den Videos herleiten. Auch stoßen wir beim allgemeinen Dreieck auf Winkel über 90° bis 180°, für die wir ebenfalls Sinus- und Kosinuswerte bestimmen können.

Mathe-Video TRI05-3 Sinus+Kosinus bei Dreiecken - Kosinussatz inkl. Herleitung

Herleitung des Kosinussatzes mit Hilfe vom Satz des Pythagoras und dem Kosinus. Bei gegebenen 2 Seiten und eingeschlossenem Winkel kann mit dem Kosinussatz die 3. Dreiecksseite bestimmt werden. Eselsbrücke fürs leichtere Merken der Formel.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI05-1 Sinus+Kosinus bei Dreiecken - Sinussatz

    Herleitung vom Sinussatz, Berechnen von Beispielen im allgemeinen Dreieck, Seiten und Winkel bestimmen mit Hilfe des Sinussatzes: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

  • TRI05-2 Sinus+Kosinus bei Dreiecken - Sinus u. Kosinus bis 180 Grad

    Höhe des Allgemeinen Dreiecks als Gegenkathete, Sinus-Werte von 90° bis 180°, Identitäten sin(α) = sin(180-α), cos(α) = -cos(180-α), Anwendung Sinussatz am stumpfwinkligen Dreieck.

  • TRI05-4 Sinus+Kosinus bei Dreiecken - Kosinussatz über Flächen

    In diesem Video leiten wir den Kosinussatz über die Flächenformel her. Abschließend zeigen wir, unter welchen Umständen aus dem Kosinussatz der Satz des Pythagoras wird.

  • TRI05-5 Sinus+Kosinus bei Dreiecken - Kosinussatz Winkel berechnen

    Anwendung des Kosinussatzes zur Dreiecksberechnung, Ermittlung des unbekannten Winkels aus 3 Dreiecksseiten, Zusammenfassung und Falleinteilung, wann der Sinussatz oder der Kosinussatz anzuwenden ist.

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Wissen zur Lektion

Einführung: Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken

Wir hatten in der Lektion TRI04 Sinus und Kosinus gelernt, dass der Sinus/Kosinus nur für rechtwinklige Dreiecke definiert ist. Jetzt fragt sich, ob wir Sinus und Kosinus auch bei allgemeinen Dreiecken verwenden können. Zur Erinnerung: Ein allgemeines Dreieck ist ein beliebiges Dreieck, bei dem die Winkel beliebige Werte annehmen können. Zum Beispiel:

Beim Betrachten von allgemeinen Dreiecken fällt auf, dass wir jedes allgemeine Dreieck durch das Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen können:

Damit lässt sich jedes allgemeine Dreieck über die beiden rechtwinkligen Teildreiecke berechnen, also dessen Seiten, Winkel und Flächen. Wir können uns diese Arbeit aber abkürzen:

Der Sinussatz

Erinnern wir uns, wie der Sinus definiert ist: sin(α) = Gegenkathete / Hypothenuse = GK / HY. Wer sich nicht daran erinnert, schaut sich unbedingt die Sinus-Lektion jetzt noch mal an.

Wenn wir nun den Sinus für die beiden rechtwinkligen Teildreiecke in der Abbildung aufstellen, so erhalten wir:

sin(α) = GK / HY = hc / b

sin(β) = GK / HY = hc / a

Lasst uns beide Gleichungen nach hc umstellen:

sin(α) = hc / b → hc = b·sin(α)

sin(β) = hc / a → hc = a·sin(β)

Als nächstes setzen wir hc gleich:

hc = hc

b·sin(α) = a·sin(β) | umstellen mit : sin(α)

b = a·sin(β) : sin(α) | umstellen mit : sin(β)

b:sin(β) = a:sin(α)

a / sin(α) = b / sin(β)

Und das ist schon der erste Teil des Sinussatzes.

Bringen wir Seite c und sin(γ) noch in die Gleichung hinein. Wir zeichnen die Höhe ha ein und stellen danach die entsprechende Gleichung auf:

sin(γ) = GK / HY = ha / b → ha = sin(γ) · b

sin(β) = GK / HY = ha / c → ha = sin(β) · c

ha = ha

sin(γ) · b = sin(β) · c | :b und :c

sin(γ) / c = sin(β) / b | Kehrwert

c / sin(γ) = b / sin(β)

Und jetzt können wir in Zusammenhang bringen, wenn:

a / sin(α) = b / sin(β) und c / sin(γ) = b / sin(β), dann gilt:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

$$ \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} = \frac{c}{sin(γ)} $$

Und genau das ist der Sinussatz. Man kann ihn formulieren als: Die Dreiecksseiten verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.

Sinus bei Winkeln über 90°

Wir hatten in der Lektion TRI04 Sinus und Kosinus gesehen, dass man Sinus/Kosinus an rechtwinkligen Dreiecken definiert, dadurch ist man beschränkt auf einen 90°-Winkel und zwei Winkel zwischen 0° und 90°. Jetzt fragt sich, ob es eine Möglichkeit gibt, den Sinus auch für Winkel größer als 90° zu berechnen und wie man dies definiert.

Hierzu definiert man die Höhe des Dreiecks als Gegenkathete, auch wenn sie außerhalb liegen sollte (wie bei einem stumpfwinkligen Dreieck):

So erhält man ein rechtwinkliges Referenzdreieck, das uns hilft, den Sinus zu bestimmen. Nun wird festgelegt:

sin(α') = hc / b = sin(α)

Der Sinuswert für den überstumpfen Winkel α (α > 90°) wird also über Winkel α' beim "außenliegenden" rechtwinkligen Dreieck bestimmt.

Zum Beispiel ist bei sin(130°) der Sinuswert sin(130°) = sin(180°-130°) = sin(50°) = 0,766. Anders ausgedrückt: Die Gegenkathete hc ist 0,766 mal so lang wie die Hypotenuse b.

Identitäten beim Dreieck

Mit diesem Wissen kommen wir zu den sogenannten Identitäten. Beispiel:

Identität für Sinus:
sin(60°) = sin(120°) → sin(180°-60°)
sin(50°) = sin(130°) → sin(180°-50°)
sin(40°) = sin(140°) → sin(180°-40°)

sin(α) = sin(180° - α)

Weitere Identität für Sinus:
sin(120°) = sin(60°) → sin(90° + 30°) = sin(90° - 30°)
sin(130°) = sin(50°) → sin(90° + 40°) = sin(90° - 40°)
sin(140°) = sin(40°) → sin(90° + 50°) = sin(90° - 50°)

sin(90° + α) = sin(90° - α)

Identität für Kosinus:
cos(120°) = -0,5
cos(90°+30°) = 0,5
cos(60°) = 0,5 | ·(-1)
-cos(60°) = -0,5 = cos(120°)
-cos(90°-30°) = -0,5 = cos(90°+30°)
cos(90° - α) = cos(90° + α)

Die Identitäten lernen wir genauer in der Lektion TRI07 Einheitskreis kennen.

Wichtig ist jedoch, dass wir uns merken, dass ein Sinuswert zwei Winkeln (bei 0° bis 180°) zugeordnet werden kann. Als Beispiel: sin(45°) = 1 = sin(135°) = sin(180° - 45°)

Der Kosinussatz

Der Sinussatz reicht nicht immer aus, um ein Dreieck lösen zu können. Für a / sin(α) = b / sin(β) → Variante A: Wir brauchen entweder 1 Seite (a) und 2 Winkel (α und β), um die andere Seite (b) zu bestimmen. Variante B: Wir brauchen 2 Seiten (a, b) und 1 Winkel (α), um den anderen Winkel (β) zu bestimmen.

Was ist jedoch, wenn wir die dritte Seite c und nur 1 Seite (a) gegeben haben. Der Sinussatz sieht dann so aus (gegebene Werte sind blau gefärbt): a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Können wir eine Formel aufstellen, die a, b und c und nur 1 Winkel enthält? Denn dann ließen sich die anderen Winkel bestimmen.

Die Antwort ist ja, schauen wir uns an, wie sich diese Formel, der sogenannte Kosinussatz ergibt.

Herleitung des Kosinussatzes

Es sei uns ein allgemeines Dreieck gegeben, in dem wir die Höhe hc einzeichnen. Gesucht sei der Zusammenhang zwischen a, b und c. Wir suchen einen Ausdruck für b2, der nur von a, b und den 3 Winkeln α, β, γ abhängt.

Drücken wir zuerst Seite b über den Pythagoras aus:

b2 = h2 + d2

Drücken wir a über den Pythagoras aus:

a2 = h2 + e2

Nun stellen wir die Formel von a2 nach h2 um:

h2 = a2 - e2

Jetzt können wir dieses h2 in die Formel von b2 einsetzen:

b2 = h2 + d2   | h2 = a2 - e2

b2 = (a2 - e2) + d2

Das d stört noch, schauen wir auf das Dreieck, wir erkennen, dass sich d als Teilstrecke von c ergibt. Die Strecke d ergibt sich mit: d = c - e. Setzen wir diese für d ein:

b2 = (a2 - e2) + d2   | d = c - e

b2 = (a2 - e2) + (c - e)2

b2 = a2 - e2 + c2 - 2ce + e2

b2 = a2 - e2 + e2 + c2 - 2ce

b2 = a2 + c2 - 2ce

Als nächstes gilt es noch das e zu ersetzen. Erinnern wir uns, wir wollen eine Formel, die nur 3 Seiten und einen Winkel benötigt. e können wir über den Kosinus von β ausdrücken:

cos(β) = AK / HY = e / a

Dies nach e umgestellt: e = cos(β) · a

Setzen wir dies in unsere aktuelle Formel ein:

b2 = a2 + c2 - 2·c·e   | e = cos(β) · a

b2 = a2 + c2 - 2·c·(cos(β) · a)

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)

Und dies ist auch schon der Kosinussatz. Wir haben alle 3 Seiten des Dreiecks (a, b, c) und nur 1 Winkel in der Formel. So lässt sich nun, wenn wir 2 Seiten gegeben haben und den einschließenden Winkel die 3. Seite berechnen. Oder wenn wir alle 3 Seiten gegeben haben, können wir einen fehlenden Winkel berechnen (und dann alle anderen).

Kosinussatz (3 Formeln)

Der Kosinussatz besteht aus drei Formeln, die man sich merken sollte:

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(α)

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ)

Hier als Grafik zum Kopieren oder Drucken:

Kosinussatz

Wer den Kosinussatz in Worte fassen möchte, kann dies so tun: "ln jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen, vermindert um das doppelte Produkt der Längen dieser Seiten und dem Kosinuswert des von ihnen eingeschlossenen Winkels."

Kosinussatz als Satz des Pythagoras

Man sollte wissen, dass der Kosinussatz mit cos(90°) = 0 dem Satz des Pythagoras entspricht. Einfach den Winkel von 90° einsetzen und es ergibt sich:

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ) | γ = 90°

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(90°)

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·0

c2 = a2 + b2

Dreieckswinkel mit Kosinussatz berechnen

Gegeben sind 3 Seiten a, b und c, gesucht ist Winkel γ

Lösung:

Kosinussatz aufstellen:
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)

Umstellen nach cos(γ):

c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | -c2

0 = -c2 + a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | +2ab·cos(γ)

2ab·cos(γ) = -c2 + a2 + b2   | :2ab

cos(γ) = (-c2 + a2 + b2) / (2ab)

// Arkuskosinus verwenden
γ = cos-1( (c2 - a2 - b2) / (2ab) )

$$ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.

Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz:

α = cos-1( (-a2 + b2 + c2) / (2bc) )

β = cos-1( (-b2 + a2 + c2) / (2ac) )

γ = cos-1( (-c2 + a2 + b2) / (2ab) )

Als TeX-Format:

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \\ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right)\\ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Sinussatz oder Kosinussatz anwenden?

Je nach den gegebenen Werten in der Aufgabe muss man entscheiden, welchen Satz man anwendet. Hierzu eine kleine Tabelle:

Gegeben Direkt zu berechnen Lösungsweg
3 Seiten (SSS) 1 Winkel Kosinussatz
2 Seiten und eingeschlossener Winkel 1 Seite Kosinussatz
2 Seiten und gegenüberliegender Winkel (SSWg) 1 Winkel (gegenüber der kleineren Seite) Sinussatz
1 Seite und 2 Winkel (SWW) 1 Seite Sinussatz
3 Winkel (WWW) nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten -

Die nächste Übersicht zeigt konkret auf, welche gegebenenen Werte wir haben und wie wir zu der fehlenden Seite bzw. Winkel gelangen:

Alle Seiten und Winkel am Dreieck: a, b, c, α, β, γ

Fall 1: Gegeben 3 Seiten

a b c
α    
a b c
  β  
a b c
    γ

Lösung: Kosinussatz

Fall 2: Gegeben 2 Seiten und eingeschlossener Winkel

a b c
γ
a b c
β
a b c
α

Lösung: Kosinussatz

Fall 3: Gegeben 2 Seiten und 1 gegenüberliegender Winkel

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 4: Gegeben 2 Winkel und gegenüberliegende Seite

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 5: Gegeben 3 Winkel und keine Seite

a b c
     

Lösung: nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten für a, b, c

Eindeutigkeit

Der Vorteil des Kosinussatzes ist, dass die Werte immer eindeutig sind. Man erhält für die Winkelberechnung einen Wert von 0° bis 180°. Beim Sinussatz hingegen erhält man stets einen Winkel von 0° bis 90° und muss das Ergebnis rechnerisch bzw. mit der gegebenen Zeichnung überprüfen. Sofern es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck handelt, ist der Winkel ggf. per Identität umzuwandeln. Also zum Beispiel statt 45°, dann 180° - 45° = 135°.

Notwendige Angaben zur Dreiecksberechnung

Halten wir kurz fest, dass man für rechtwinklige Dreiecke stets nur 2 Angaben braucht (ausgeschlossen ist der 90° Winkel). Bei allgemeinen Dreiecken benötigen wir hingegeben 3 Angaben, um sie vollständig berechnen zu können.

Sinus und Kosinus für Winkel über 180°

Sinus und Kosinus lassen sich auch für Winkel über 180° bestimmen, hierzu verwendet man den Einheitskreis, den wir in der Lektion TRI07 kennenlernen. Damit lassen sich (Ko)Sinuswerte für alle möglichen Winkel festlegen. Du kannst testweise deinen Taschenrechner benutzen, um sin(450°) zu berechnen, der Wert wird 1 sein. Oder tippe ein: sin(-90°), es ergibt sich -1. Achte darauf, dass der Taschenrechner-Modus DRG (degree = Gradmaß) anzeigt und nicht RAD (radiant = Bogenmaß).

Übersicht: Sinussatz und Kosinussatz

Im Folgenden der Sinussatz und der Kosinussatz (der aus 3 Formeln besteht):

Sinussatz
Kosinussatz

Sinustabelle bis 180°

Winkel Sinuswert Sinuswert gerundet
0,0000,000
10°0,173648177666930,174
20°0,3420201433256690,342
30°0,5000,500
40°0,6427876096865390,643
50°0,7660444431189780,766
60°0,8660254037844390,866
70°0,9396926207859080,940
80°0,9848077530122080,985
90°1,0001,000
100°0,9848077530122080,985
110°0,9396926207859080,940
120°0,8660254037844390,866
130°0,7660444431189780,766
140°0,6427876096865390,643
150°0,5000,500
160°0,3420201433256690,342
170°0,1736481776669310,174
180°0,0000,000


Kosinustabelle bis 180°

Winkel Kosinuswert Kosinuswert gerundet
1,0001,000
10°0,9848077530122080,985
20°0,9396926207859080,940
30°0,8660254037844390,866
40°0,7660444431189780,766
50°0,6427876096865390,643
60°0,5000,500
70°0,3420201433256690,342
80°0,173648177666930,174
90°0,0000,000
100°-0,17364817766693-0,174
110°-0,342020143325669-0,342
120°-0,500-0,500
130°-0,642787609686539-0,643
140°-0,766044443118978-0,766
150°-0,866025403784439-0,866
160°-0,939692620785908-0,940
170°-0,984807753012208-0,985
180°-1,000-1,000

Verhältnis Seite zu Sinuswert ist zweifacher Umkreisradius

Gegeben sei das Dreieck ABC mit Umkreis, Radius r und Mittelpunkt M:

Umkreisradius und Verhältnis Seite zu Sinuswert

Die Dreiecksseite a ist eine Sehne des Umkreises, der Winkel α ist Umfangswinkel zur Sehne a. Alle Umfangswinkel zur Sehne a sind nach dem Umfangswinkelsatz gleich (auf der selben Seite des Kreises), also auch der rechte Winkel bei Punkt B. In diesem Fall verläuft die Strecke A'C durch den Mittelpunkt M des Umkreises (Satz des Thales) und es ist Strecke |A'C| = 2·r.

Im rechtwinkligen Dreieck A'BC gilt dann: sin(α) = a/(2·r) und das kann man umstellen zu: a/sin(α) = 2·r

Mathe-Programme

Hier in der Formelsammlung 3.0 gibt es einen neuen Sinussatz-Rechner für euch.

  • Sinus und Kosinus (Allgemeines Dreieck)
    Sinus und Kosinus (Allgemeines Dreieck)
    Mit der Dreieckshöhe als Gegenkathete können wir Sinus und Kosinus im allgemeinen Dreieck anwenden. Wir nutzen ein Referenzdreieck für Winkel über 90 Grad am Halbkreis sowie Identitäten.
  • Sinussatz zur Dreiecksberechnung Sinussatz zur Dreiecksberechnung
    Mit diesem Programm können beliebige Dreiecke mit Hilfe des Sinussatzes berechnet werden. Hierzu sind nur 3 Werte anzugeben. Zusätzlich können Höhen und Fläche angezeigt werden.
  • Kosinussatz zur Dreiecksberechnung
    Kosinussatz zur Dreiecksberechnung
    Mit diesem Programm können beliebige Dreiecke mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden. Hierzu sind nur 3 Werte anzugeben. Zusätzlich können Höhen und Fläche angezeigt werden.
  • Sinus und Kosinus im 1. Quadrant
    Sinus und Kosinus im 1. Quadrant
    Lernt die Werte für Sinus und Kosinus von 0 bis 90 Grad. Der Wert für Sinus steht an der Gegenkathete, der Wert für Kosinus an der Ankathete. Nutzt auch die Koordinaten des Punktes auf dem Kreisbogen.
  • Sinus und Kosinus im 2. Quadrant Sinus und Kosinus im 2. Quadrant
    Die Werte für Sinus und Kosinus von 90 bis 180 Grad können hier gelernt werden. Der Wert für Sinus ist die Länge der Gegenkathete, der Wert für Kosinus die Länge der Ankathete.
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Tags: Trigonometrie, Sinus und Kosinus, Allgemeines Dreieck, Sinussatz und Kosinussatz, Dreiecksberechnung

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