Herleitung der Logarithmusregel log_a x + log_a y = log_a (x⋅y)

Um die erste Logarithmusregel \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x·y) \) zu bestimmen, müssen wir uns auf die Exponenten konzentrieren. Das Nachfolgende ist auch im Video schrittweise beschrieben.

24 · 23 = 24+3 = 27

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

24 = 16 → log2 16 = 4
23 = 8 → log2 8 = 3
27 = 128 → log2 128 = 7

Nun die Exponenten-Betrachtung, wobei wir die Exponenten mit den Logarithmen ersetzen: 4 = log2 16 sowie 3 = log2 8 und 7 = log2 128

4      +   3   =   7
log2 16 + log2 8   = log2 128

Schließlich schreiben wir die 128 als 16·8:

log2 16 + log2 8 = log2 (16·8)

und erkennen die erste Logarithmusregel:

log2 16 + log2 8 = log2 (16 8)

Allgemein:
loga x + loga y = loga (xy)

Gleichermaßen verfahren wir mit der Subtraktion und erhalten die zweite Logarithmusregel.

Allgemein:
loga x – loga y = loga (x : y)

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