Herleitung der Logarithmusregel log_a x + log_a y = log_a (x⋅y)

Um die erste Logarithmusregel loga x + loga y = loga (x·y) zu bestimmen, müssen wir uns auf die Exponenten konzentrieren.

24 · 23 = 24+3 = 27

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

24 = 16 → log2 16 = 4
23 = 8 → log2 8 = 3
27 = 128 → log2 128 = 7

Nun betrachten wir die Exponenten, wobei wir sie mit den Logarithmen ersetzen:
4 = log2 16 sowie 3 = log2 8 und 7 = log2 128

4 + 3 = 7
log2 16 + log2 8 = log2 128

Schließlich schreiben wir die 128 als 16·8:

log2 16 + log2 8 = log2 (16·8)

und erkennen die erste Logarithmusregel:

log2 16 + log2 8 = log2 (16 8)

Allgemein:
loga x + loga y = loga (xy)

Gleichermaßen verfahren wir übrigens mit der Subtraktion und erhalten die zweite Logarithmusregel:
loga x – loga y = loga (x : y)