Herleitung der Logarithmusregel log_a x^y = y · log_a x

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Die Logarithmusregel

\( \log_a x^\color{#00F}{y} = \color{#00F}{y} · \log_a x \)

ist sehr wichtig, da sie häufig verwendet wird.

Zeigen wir schrittweise, wie diese Regel zustande kommt und betrachten zuerst ein Beispiel zu den Potenzen:

(23)4 = 23·4 = 212

212 = 4096

Schreiben wir das um zu einem Logarithmusausdruck:

log2 4096 = 12

Nun konzentrieren wir uns auf die 4096 und schreiben diese mit Zweierpotenzen:

log2 4096 = log2 (212) = log2 (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)

Wenden wir jetzt die erste Logarithmusregel rückwärts an: loga (x y) = loga x + loga y

Damit erhalten wir:

log2 4096
= log2 (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)
= log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22 + log22
= 12 · log22

Und das ist auch schon die nächste Logarithmusregel:

log2 (212) = 12 · log22

Allgemein:
loga (xy) = y · logax

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