Logarithmusgleichung lösen - Beispiel 5: log₃(2·x) + log₃(x+2) = log₃(5·x)
Folgende Schritte sind zum Lösen dieser Logarithmusgleichung notwendig:
\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \)
1. Wir nutzen die Logarithmusregel loga x + loga y = loga (x⋅y):
\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( (2·x) · (x+2) ) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x·x + 2·x·2 ) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) = \log_{3}(5·x) \)
2. Wir subtrahieren log3(5·x) auf beiden Seiten:
\( \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) = \log_{3}(5·x) \quad |-\log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) - \log_{3}(5·x) = 0 \)
3. Wir nutzen die Logarithmusregel loga x - loga y = loga (x/y):
\( \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) - \log_{3}(5·x) = 0 \\ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) = 0 \)
4. Wir exponieren beide Seiten mit der Basis des Logarithmus, also 3:
\( \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) = 0 \quad | \textcolor{#00F}{3}^{\{\}} \\ \textcolor{#00F}{3}^{ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) } = \textcolor{#00F}{3}^{0} \)
5. Jetzt nutzen wir die Logarithmusregel a loga x = x:
\( \textcolor{#00F}{3}^{ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) } = \textcolor{#00F}{3}^{0} \\ \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} = 1 \)
6. Abschließend die Gleichung auflösen und den Wert für x bestimmen:
\( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} = 1 \\ \frac{2·x^2}{5·x} + \frac{4·x}{5·x} = 1 \\ \frac{2}{5}·x + \frac{4}{5} = 1 \quad | -\frac{4}{5} \\ \frac{2}{5}·x = 1-\frac{4}{5} \\ \frac{2}{5}·x = \frac{1}{5} \quad | ·\frac{5}{2} \\ x = \frac{1}{5} ·\frac{5}{2} \\ x = \frac{5}{10} \\ x = \frac{1}{2} \)
Die Probe des Ergebnisses:
\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \quad | x = \frac{1}{2} \\ \log_{3}(2·\frac{1}{2}) + \log_{3}(\frac{1}{2}+2) = \log_{3}(5·\frac{1}{2}) \\ \log_{3}(1) + \log_{3}(\frac{5}{2}) = \log_{3}(\frac{5}{2}) \quad | \log_{3}(1) = 0 \\ 0 + \log_{3}(\frac{5}{2}) = \log_{3}(\frac{5}{2}) \quad \textcolor{#00F}{✓ korrekt} \)