Logarithmusgleichung lösen - Beispiel 5: log₃(2·x) + log₃(x+2) = log₃(5·x)

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Folgende Schritte sind zum Lösen dieser Logarithmusgleichung notwendig:

\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \)

1. Wir nutzen wir die Logarithmusregel \( \log_{a} x + log_{a} y = log_{a} (x⋅y) \):

\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( (2·x · (x+2) ) ) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x·x + 2·x·2 ) = \log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) = \log_{3}(5·x) \)

2. Wir subtrahieren \( \log_{3}(5·x) \) auf beiden Seiten:

\( \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) = \log_{3}(5·x) \quad |-\log_{3}(5·x) \\ \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) - \log_{3}(5·x) = 0 \)

3. Wir nutzen wir die Logarithmusregel \( \log_{a} x - log_{a} y = log_{a} ( \frac{x}{y} ) \):

\( \log_{3}( 2·x^2 + 4·x ) - \log_{3}(5·x) = 0 \\ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) = 0 \)

4. Wir exponieren beide Seiten mit der Basis des Logarithmus, also 3:

\( \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) = 0 \quad | \color{#00F}{3}^{\{\}} \\ \color{#00F}{3}^{ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) } = \color{#00F}{3}^{0} \)

5. Jetzt nutzen wir die Logarithmusregel \( a^{\log_{a} \color{#F00}{x}} = \color{#F00}{x} \):

\( \color{#00F}{3}^{ \log_{3}( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} ) } = \color{#00F}{3}^{0} \\ \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} = 1 \)

6. Abschließend die Gleichung auflösen und den Wert für x bestimmen:

\( \frac{2·x^2 + 4·x}{5·x} = 1 \\ \frac{2·x^2}{5·x} + \frac{4·x}{5·x} = 1 \\ \frac{2}{5}·x + \frac{4}{5} = 1 \quad | -\frac{4}{5} \\ \frac{2}{5}·x = 1-\frac{4}{5} \\ \frac{2}{5}·x = \frac{1}{5} \quad | ·\frac{5}{2} \\ x = \frac{1}{5} ·\frac{5}{2} \\ x = \frac{5}{10} \\ x = \frac{1}{2} \)

Die Probe des Ergebnisses:

\( \log_{3}(2·x) + \log_{3}(x+2) = \log_{3}(5·x) \quad | x = \frac{1}{2} \\ \log_{3}(2·\frac{1}{2}) + \log_{3}(\frac{1}{2}+2) = \log_{3}(5·\frac{1}{2}) \\ \log_{3}(1) + \log_{3}(\frac{5}{2}) = \log_{3}(\frac{5}{2}) \quad | \log_{3}(1) = 0 \\ 0 + \log_{3}(\frac{5}{2}) = \log_{3}(\frac{5}{2}) \quad \color{#00F}{\text{✓ korrekt}} \)

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