Herleitung der Logarithmusregel log_a x - log_a y = log_a (x/y)

Die erste Logarithmusregel \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x·y) \) hatten wir bereits bestimmt. Genau auf diese Weise leiten wir auch die Logarithmusregel für die Addition (bzw. Division) her.

Im ersten Schritt notieren wir die Potenzen.

24 : 23 = 24-3 = 21

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

24 = 16 → log2 16 = 4 23 = 8 → log2 8 = 3 21 = 2 → log2 2 = 1

Nun die Exponenten-Betrachtung, wobei wir die Exponenten mit den Logarithmen ersetzen:
4 = log2 16 sowie 3 = log2 8 und 1 = log2 2

4 - 3 = 1
log2 16 - log2 8 = log2 2

Schließlich schreiben wir die 2 als 16:8, also:

log2 16 - log2 8 = log2 (16:8)

und erkennen die zweite Logarithmusregel:

log2 16 log2 8 = log2 (16 : 8)

Allgemein:
loga x loga y = loga (x : y)

Bzw. in Bruchschreibweise:

\( \log_{a}\color{#F00}{x} - \log_{a}\color{#00F}{y} = \log_{a}{\frac{\color{#F00}{x}}{\color{#00F}{y}}} \)