Herleitung der Logarithmusregel log_a x = (log_b x)/(log_b a)

Die Logarithmusregel lautet: \( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \)

Bei den Äquivalenzumformungen hatten wir gelernt, dass eine Operation auf beiden Seiten der Gleichung den Wert der Lösung nicht verändert. Dies gilt auch, wenn wir einen Logarithmus (mit anderer Basis) auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Ein Beispiel:

8 = 8   | log2
log28 = log28
3 = 3

Nehmen wir uns die vierte Logarithmusregel \( a^{\log_a x} = x \) und wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an (siehe auch Video):

$$ a^{\log_a x} = x \quad | \log_b \\ \log_b (a^{\log_a x}) = \log_b (x) $$

Jetzt nutzen wir die dritte Logarithmusregel \( \log_d(m^y) = y · \log_d(m) \) und formen entsprechend um:

$$ \log_b (a^{\color{blue}{\log_a x}}) = \log_b (x) \\ \color{blue}{\log_a x} · \log_b a = \log_b (x) $$

Als nächstes dividieren wir auf beiden Seiten durch \( \log_b a \). Es ergibt sich:

$$ \color{blue}{\log_a x} · \log_b a = \log_b (x) \quad |:\log_b a \\ \log_a x = \log_b (x) : \log_b a \\ \log_a x = \frac{ \log_b x }{ \log_b a } $$

Diese fünfte Logarithmusregel in Worten gefasst: Ein Logarithmus mit der Basis a (\( \log_a x \)) kann ausgedrückt bzw. berechnet werden mit einem anderen Logarithmus zur Basis b (also einer ganz anderen Basis).

Wir führen einen Basiswechsel durch, wobei ursprüngliche Basis und Numerus zum Numerus der beiden neuen Logarithmen werden.

Hierbei ist zu beachten, dass der Numerus x im Zähler steht und die Basis a im Nenner:
\( \log_\color{blue}{a} \color{red}{x} = \frac{ \log_b \color{red}{x} }{ \log_b \color{blue}{a} } \)

Beispielrechnung mit Logarithmusregel

\( \log_\color{blue}{a} \color{red}{x} = \frac{ \log_b \color{red}{x} }{ \log_b \color{blue}{a} } \)

Wählen wir: \( 4^3 = 64 \) und damit:

\( \log_4 64 = 3 \)

Jetzt berechnen wir den Logarithmus mit einer anderen Basis, wählen wir Basis 2:

\( \log_\color{blue}{4} \color{red}{64} = \frac{ \log_2 \color{red}{64} }{ \log_2 \color{blue}{4} } = \frac{ 6 }{ 2 } = 3 \)

Wie wir sehen, kommt die gleiche Lösung mit 3 heraus.

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