Logarithmusgleichung lösen - Beispiel 3: log₅(3·x+5) = 7

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Folgende Schritte sind zum Lösen dieser Logarithmusgleichung notwendig:

\( \log_{5} (3·x+5) = 7 \)

1. Wir exponieren beide Seiten mit der Basis des Logarithmus, also 5:

\( \log_{5} (3·x+5) = 7 \quad | \color{#00F}{5}^{\{\}} \\ \color{#00F}{5}^{\log_{5} (3·x+5)} = \color{#00F}{5}^{7} \)

2. Jetzt nutzen wir die Logarithmusregel \( a^{\log_{a} \color{#F00}{x}} = \color{#F00}{x} \):

\( 5^{\log_{5} \color{#F00}{(3·x+5)}} = 5^{7} \\ \color{#F00}{(3·x+5)} = 5^{7} \)

3. Abschließend die Gleichung auflösen und den Wert für x bestimmen:

\( 3·x+5 = 5^7 \quad |-5 \\ 3·x = 5^7 - 5 \quad | :3 \\ x = \frac{5^7-5}{3} \\ x = 26040 \)

Die Probe des Ergebnisses:

\( \log_{5} (3·x+5) = 7 \quad | x = 26040 \\ \log_{5} (3·26040+5) = 7 \\ \log_{5} (78125) = 7 \quad \color{#00F}{\text{✓}} \\ \text{Korrekt, da: } 5^{7} = 78125 \)

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